Умови для функції адитивного значення

У стандартній задачі нарізка торта , існує реальний інтервал, який називається "торт", і він повинен бути розділений між $ n $ партнерами. Кожен партнер $ i $ має суб'єктивну функцію значення $ v_i $, яка є a добавка функція на підмножинах торта. Це означає, що для кожних двох непересічних підмножин $ A $ і $ B $:

$$ v_i (A B) = v_i (A) + v_i (B) $$

Припустимо, що замість функції вартості кожен партнер має a відношення переваги $.

Співвідношення переваг $ succeq_i $ представлені за значенням функції $ v_i $ iff:

$$ A a succeq_i B iff v_i (A) geq v_i (B) $$

Які властивості відношення переваг гарантують, що вона може бути представлена ​​a добавка функція цінності?

ПРИМІТКА: Сторінка Вікіпедії Порядкова утиліта описує деякі умови, при яких відношення переваги може бути представлено функцією адитивної величини. Але це стосується переваг на зв'язках однорідних товарів. Тут переваги знаходяться на підмножинах гетерогенного добра.

ПРИКЛАДИ:

$$ u_1 (A) = $ {len} (A) ^ 2 $$

$ u_1 $ не є адитивним, але відношення переваги, яке він представляє, може бути представлено адитивною функцією $ v_1 (A) = {len} (A) $.

$$ u_2 (A) = min [тип {len} (A [0,4]), {{len} (A [4,8])] $$

Співвідношення переваг, представлене $ u_2 $, не може бути представлено адитивною функцією. Доказ: припустимо протиріччям, що відношення переваги представлено адитивною функцією $ v_2 $. Потім, тому що:

$$ u_2 ([0,1]) = u_2 ([4,5]) = u_2 (

це також має бути вірним для $ v_2 $:

$$ v_2 ([0,1]) = v_2 ([4,5]) = v_2 (

За аддитивністю:

$$ v_2 ([0,1] чашка [4,5]) = v_2 (випр \ t

Це також має бути вірним для $ u_2 $:

$$ u_2 ([0,1] куб [4,5]) = u_2 (emptyset) $$

протиріччя.

Це лише часткова відповідь, тому що вона не відповідає вашим рамкам, але я сподіваюся, що вона все одно буде корисною (і це занадто довго для коментарів).

Якщо ви в порядку з дискретизацією торта в (можливо, невеликі) шматки пирога, тоді ви знайдете відповідь у

• Kraft, C.H., Pratt, J.W., & Amp; Сейденберг, А. (1959). Інтуїтивна ймовірність на кінцевих множинах. Аннали математичної статистики, 30 (2), 408–419.

основна частина яких дуже добре підсумована у вступі

• Fishburn, P.C. (1996). Кінцева лінійна якісна ймовірність. Журнал математичної психології, 40 (1), 64–77.

Незважаючи на те, що налаштування робіт здійснюються з точки зору суджень про ймовірності, їх можна переосмислити з точки зору переваги таким чином:

• Кінцеве безліч об'єктів $ S = {1,2, крапки, n} $ (у вашій задачі $ S $ може містити шматки пирога)
• Співвідношення переваг $ succeq $ над $ 2 ^ S $ множиною підмножин $ S $.
• Питання: коли $ $ succeq $ представляється адитивною функцією корисності $ U $ на $ 2 ^ S $.

Класична гіпотеза de Finetti's полягала в тому, що наступні умови повинні бути достатніми (тут я слідую за презентацією у Fishburn (1996)):

• (Порядок): $ $ succeq $ на $ 2 ^ S $ - слабкий порядок,
• (Неотрицальність): $ A succeq emptyset $ для кожного $ A в 2 ^ S $,
• (Нетривіальність): $ S succ
• (Адитивність): Для всіх $ A, B, C у 2 ^ S $, якщо $ (A B) C = = emptyset $, то $ [A succ B] Ліва справа [(A \ t C) succ (B C)] $.

de Finneti зазначив, що це було необхідно, але вони не могли визначити, чи достатньо. Зрештою, Kraft, Pratt & amp; Сейденберг (1959) надав зустрічний приклад, а також додаткову умову, яка разом з чотирма іншими мали на увазі наявність адитивної репрезентації:

• (Сильна аддитивність): для всіх $ m geq 2 $ і всіх $ A_j, B_j в 2 ^ S $, якщо $ (A_1, точки, A_M) $ і $ (B_1, крапки, B_M) $ містять Таке ж число реплік кожного елемента $ S $ (тобто якщо $ s_1 $ з'являється тричі у всіх наборах $ A_j $, то воно також з'являється три рази у всіх B_j $ наборів і т.д.) і $ A_j succeq B_j $ для всіх $ j & lt; m $, то ми не маємо $ [A_m succ B_m] $.

Остання умова часто згадується в літературі як "відмінна" властивість. Тепер (Сильна аддитивність) не є найбільш інтуїтивним станом. Загалом, важко перевірити і орієнтуватися, що спонукало велику літературу щодо альтернативного достатнього стану. Я можу надіслати вам список читання, якщо ви зацікавлені. На жаль, я не пам'ятаю жодного документа, що безпосередньо займається преференціями над підгрупами нескінченний набори, як і ваш реальний інтервал.

З мого досвіду з такими проблемами, зміна домену, над яким визначаються переваги, робить величезну різницю з точки зору результатів, які зберігаються, та методів доказування, які можна використовувати. Якщо в літературі вже немає результату, його рідко легко вивести з очевидно подібних результатів у різних областях.

Єдине, що я можу думати про те, що може бути пов'язане з вашим питанням, - це теорема Дебре, яка говорить, що переваги, які є безперервними, можуть бути представлені безперервною функцією корисності. Звичайно, якщо функція корисності є безперервною, то й функція значення. Крім того, я вважаю, що монотонність може зіграти свою роль.