Припущення про нормальність журналу щодо ціноутворення на основі споживання

Розглянемо дуже основоположну дискретну проблему максимізації споживачів за часом з корисністю CRRA Там існує ризикований актив згодом ціни , який платить час дивідендна , і безризиковий актив з ціною , що платить постійний виграш-прі . Ми припускаємо, що дивіденди - це послідовність випадкових змінних, що слідують за процесом Маркова. Припустимо також, що у споживача немає інших потоків доходу (тобто ). На час t споживач вкладає суму у ризиковий актив та суму у безризиковий актив. Тому задачу максимізації можна констатувати як $t$ $p_t$ $t+1$ $d_{t+1}$ $p_t^f$ $t+1$ $y_t = 0 \ \forall t$ $\pi_t$ $\pi_t^0$

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Скажімо, ми хочемо знайти рівноважну безризикову ставку та очікувану премію за власний капітал. Для того, щоб закрити модель, часто вважається, що (див., Наприклад, книгу Клауса Манка « Теорія цін на фінансові активи», розділ 8.3), що зростання споживання журналу та валовий прибуток, ризикований журналом, спільно зазвичай розподіляються. Тобто

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

де валова віддача визначається як

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Те, що я не повністю розумію, - це звідки беруться припущення щодо поширення теологічного нормального розповсюдження. Я знаю, що оскільки це репрезентативна економіка агентів, споживання цього агента повинно дорівнювати сукупному дивіденду в економіці. Але оскільки ми припускали, що доходу немає, , єдиний екзогенний процес дивідендів в економіці - це і тому він повинен мати такий самий розподіл, як зростання споживання. Однак моє враження таке: коли ми кажемо, що ризикована норма має нормальний розподіл, це фактично означає процес дивідендів, оскільки це "випадкова частина" у визначенні прибутку (ціна $y_t = 0 \ \forall t$ $d_t$ $p_{t+1}$ не є екзогенним, але визначається всередині моделі). Мені зараз здається, що ми зробили два різні припущення щодо одного і того ж процесу дарування . Звідки походить припущення про споживання або що воно означає? Як змінилася б ситуація, якби споживач мав деякий потік доходів ? $d_t$ $y_t > 0$

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
джерело

Відповіді:

Типовий дворазовий лагранжанин

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Умови першого порядку щодо є $c_t, \pi_t$

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

і так, використовуючи також визначення валового прибутку,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Поєднавши і отримаємо $(1)$ $(3)$

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Отже, ми бачимо, що на оптимальному шляху зростання споживання є прямою афінною функцією віддачі від ризику. Це, серед іншого, означає, що їх коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці.

Нормальний розподіл закритий при афінних перетвореннях (як альтернатива, при масштабуванні та зсуві), тому, якщо припустити, що доходи, що ризикують логарифмом, зазвичай розподіляються, то зростання споживання також нормально розподіляється (з різною середньою та різницею курсу).

Зауважимо, що хоча загалом припущення про нормальність спільності є додатковим, яке слід зробити, коли дві нормальні випадкові величини не є незалежними, тут факт, що одна є афінною функцією, інший гарантує спільну нормальність. За умовою Креймера щодо двовимірної нормальності, повинно бути так, що всі лінійні комбінації двох нормальних випадкових змінних мають однофакторний нормальний розподіл. У нашому випадку ми маємо (загальне позначення) випадкову змінну та випадкову змінну . Розглянемо $Y$ $X = a+bY$

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Таким чином , для будь-якого (крім нульового вектора , який виключається апріорі), слід нормальний розподіл , якщо робить. Тому достатньо припустити, що віддача від ризику журналу відбувається за нормальним розподілом, щоб отримати також спільну нормальність. $(\delta_1, \delta_2)$ $\delta_1X + \delta_2 Y$ $Y$

— Алекос Пападопулос
джерело

Це стара відповідь, але, як було сказано, ця відповідь хибна. Ви повинні бути обережними при використанні множників Лагранжа при наявності стохастичних елементів. Якщо ви зробите розрахунок належним чином, ви закінчите лише стандартне рівняння цін на активи - у своєму розрахунку ви втрачаєте сподівання, оскільки не стежите за оптимізацією. (Інший спосіб сказати це, що проблема оптимізації повинна мати обмеження замість , де - кількість можливих станів природи за період )

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$

s + 1

$s+1$

2

$2$

s

$s$

t + 1

$t+1$

— Зір,

@Starfall Дякую за вклад. Старий чи ні помилковий вміст має бути виправлений. Я ще раз перевірю відповідь і побачу, що я можу зробити. На перший погляд, я думаю , що ви маєте в виду , що коваріація між мультиплікатора і термінів ігнорувалися.

t + 1

$t+1$

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$

— Алекос Пападопулос

Не просто коваріація була ігнорована - якби це була єдина проблема, ви б закінчилися з , яке лише пов'язує очікуване значення коефіцієнта дисконтування з очікувані прибутки, тоді як ваша відповідь закінчується , ex-post співвідношення між коефіцієнтом дисконтування та доходами, що має місце у кожному стані природи. Проблема полягає лише в тому, що ви не можете використовувати множники Lagrange зі стохастичними змінними без чіткого пояснення різних станів природи в проблемі.

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$

m R = 1

$mR = 1$

— Зоряний випадок

Якщо термінологія незрозуміла, , у цій проблемі .

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$

— Старпад

@Starfall Хм ... проблема тут - дистрибуції, які насправді слідують, а не попереднє рішення ... Я все продумаю та детально розгорнув пізніше.

— Алекос Пападопулос

Нещодавно я підготував документ про розподіл прибутку для всіх класів активів та пасивів. Нормальне повернення журналу з'являється лише у двох випадках. Перший - з облігаційними дисконтними облігаціями на один період, другий - при злитті грошових коштів. Це випливає з припущення, я вважаю, що спочатку «Бонесс» ліквідував проблему в Марковиці нескінченно негативних цін. Хоча це було логічно виведене, воно має критичне припущення, що робить його взагалі неправдивим.

Більшість моделей фінансування припускають, що параметри відомі з вірогідністю. Не потрібно оцінювати допомогою оскільки це вважається відомим. З іншого боку, це не проблема, оскільки це загальна методологія методів, заснованих на нульовій гіпотезі. Ви стверджуєте, що нуль є істинним, а отже, параметри відомі і проводиться тест на цю нуль. $\mu$ $\bar{x}$

Складність буває, коли параметри не відомі. Виявляється, доказ руйнується без цього припущення взагалі. Те саме стосується Black-Scholes. Я представляю доповідь на конференції SWFA цієї весни, де я стверджую, що якщо припущення формули Блек-Шоулса буквально вірні, то не може існувати оцінка, яка наближається до параметра населення. Усі просто припускали, що формула за досконалим знанням дорівнює оцінці параметрів. Ніхто ніколи насправді не перевіряв її властивості. У своєму первісному документі Блек і Скоулс емпірично перевірили свою формулу, і вони повідомили, що це не працює. Як тільки ви скинете припущення про те, що параметри відомі, математика виходить інакше. Досить різний, щоб не міг думати про це однаково.

Розглянемо випадок цінного паперу, що торгується на NYSE. Він торгується на подвійному аукціоні, тому прокляття переможця не отримується. Через це раціональна поведінка полягає у створенні граничного порядку, ціна якого дорівнює . Покупців і продавців багато, тому книжка лімітів повинна бути статично нормальною, або, принаймні, це стане так, як кількість покупців і продавців піде в нескінченність. Отже, є нормальним щодо , рівноважної ціни. $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ $p_t$ $p_t^*$

Звичайно, ми ігнорували розподіл . Якщо ви ігноруєте розбиття та дивіденди акцій, то він або продовжує існувати, або його немає. Таким чином, ви повинні створити суміш розподілу для повернення запасів, запасів готівки та банкрутства. Ми будемо ігнорувати ці випадки для простоти, хоча це виключає можливість вирішити модель ціноутворення опціону. $(q_t,q_{t+1})$

Отже, якщо ми обмежимося і припустимо всі дивіденди, то наші прибутки будуть співвідношенням двох нормалей про рівновагу. Я виключаю дивіденди, оскільки вони створюють безлад, і я виключаю такі випадки, як фінансова криза 2008 року, тому що ви отримуєте дивний результат, який споживав би сторінку за сторінкою за текстом. $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$

Тепер спростіть наше виведення, якщо ми переведемо наші дані з в і визначимо ми можемо легко бачити розподіл. За відсутності обмежень у зобов'язаннях або міжчасового бюджетного обмеження, за відомою теоремою, щільність прибутку повинна бути розподілом Коші, який не має ані середнього, ані відхилення. Коли ви переводите все назад у ціновий простір, щільність стає $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ $(0,0)$ $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Оскільки немає середнього значення, ви не можете приймати очікування, виконувати на або F тест, використовувати будь-яку форму з найменшими квадратами. Звичайно, це було б інакше, якби натомість це було антикваріатом.

Якби це антикваріат на аукціоні отримує прокляття переможця. Високий учасник виграє ставку, а обмежувальною щільністю високих ставок є розподіл Gumbel. Таким чином, ви вирішите ту саму проблему, але як відношення двох розподілів Gumbel замість двох нормальних розподілів.

Проблема насправді не така проста. Обмеження відповідальності скорочує всі основні розподіли. Міжчасове обмеження бюджету перекриває всі основні розподіли. Існує різний розподіл дивідендів, злиття грошових коштів, злиття акцій або майна, банкрутство та усічений розподіл Коші для проблемних питань, як зазначено вище. Існує шість типів розподілів, присвячених власним цінним паперам у суміші.

Різні ринки з різними правилами та різними екзистенційними станами створюють різні розподіли. Антична ваза має випадок, коли вона падає і розбивається. Це також стосується зносу або іншої зміни внутрішньої якості. Нарешті, має місце також те, що якщо буде знищено достатньо подібних ваз, то центр розташування переміститься.

Нарешті, через усічення та відсутність достатньої статистики для параметрів не існує обчислюваного та допустимого не-баєсовського оцінки.

Визначення співвідношення двох нормальних змінних та пояснення можна знайти на веб- сайті http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Ви також можете знайти те, що видається першим документом на цю тему

Curtiss, JH (1941) Про розподіл коефіцієнта двох змінних шансів. Анали математичної статистики, 12, 409-421.

Будь-який документ подається за адресою

Gurland, J. (1948) Формули інверсії для розподілу співвідношень. Аннали математичної статистики, 19, 228-237

Для авторегресивної форми для методів вірогідності та частотистики при

White, JS (1958) Граничний розподіл коефіцієнта послідовної кореляції у фугасному корпусі. Анали математичної статистики, 29, 1188-1197,

та його узагальнення Рао при

Рао, М. М. (1961) Послідовність та граничні розподіли оцінок параметрів у вибухових рівняннях стохастичної різниці. Аннали математичної статистики, 32, 195-218

У моїй роботі взяті ці чотири та інші документи, такі як праця Коопмана та одна Джейнеса, для побудови розподілів, якщо справжні параметри невідомі. Він зауважує, що вищезазначена Біла книга має байєсівську інтерпретацію і дозволяє баєсівське рішення, навіть якщо не існує баєсівського рішення.

Зауважте, що має кінцеву середню величину та дисперсію, але не має коваріаційної структури. Розподіл - це гіперболічний семантичний розподіл. Це також відомий результат статистики. Насправді це не може бути гіпербалічний секційний розподіл через такі побічні випадки, як банкрутство, злиття та дивіденди. Екзистенційні випадки є адитивними, але журнал передбачає мультиплікативні помилки. $\log(R)$

Ви можете знайти статтю про гіперболічний семантичний розподіл за адресою

Дінг, П. (2014) Три виникнення гіперболічно-секретного розподілу. Американський статистик, 68, 32-35

Моя стаття за адресою

Харріс, Д. (2017) Розподіл повернень. Журнал математичних фінансів, 7, 769-804

Перш ніж прочитати мою, слід спочатку прочитати вищевказані чотири статті. Також не завадило б прочитати Е. Джейнес Томі. На жаль, це полемічна робота, але все-таки сувора. Його книга:

Jaynes, ET (2003) Теорія ймовірностей: Мова науки. Cambridge University Press, Кембридж, 205-207

— Дейв Харріс
джерело