Коли диференційованим є утиліта?

Ми знаємо, що якщо ми починаємо з пов'язаного, відокремленого продуктового простору $ V_1, ..., то V_n $ і повне, транзитивне і безперервне відношення віддачі $; ! Представлення утиліти $ u: V_1 разів, ..., V_n праворуч mathbb {R} $. Проте, безперервність $ \ t Таким чином, мені цікаво, за яких умов існує навіть диференційована функція корисності.

Моя перша ідея полягає в тому, щоб принаймні обмежити простір продукту до $ mathbb {R} ^ n $, але можуть бути і контрприклади. Наприклад, якщо $ n = 1 $ і $ u $ є функцією Вейерштрасса, $ u $ є безперервною, але недиференційованою.

Оскільки в економіці ми постійно працюємо з диференційованою утилітою, мені цікаво, які припущення необхідні для забезпечення диференційованості.

Безперервна, перехідна, повна, опукла і локально ненасищенная перевага на відкритій опуклої підмножині $ V $ деякого $ mathbb {R} ^ l $ має безперервно диференційовану утиліту $ r $ без критичних точок, якщо і тільки якщо простір $ I = {(x, y) у V V V середнє x sim y} $ є $ C ^ r $ -різноманіття.

Цей результат по суті є твердженням 2.3.9. у книзі "Теорія загального економічного рівноваги: ​​диференційований підхід" Андреу Мас-Коллеля. Насправді, результат замінює опуклості $ V $, а відношення переваги - більш слабким умовою, що всі криві індиферентності пов'язані між собою.

Я не знаю більш елементарного підходу до проблеми.

Ось кілька посилань на дещо незадовільну картину.

Зауваження Рубінштейна в мікроекономічній теорії обговорюють необхідну умову диференційованості.

Дебре надав необхідні та достатні умови для диференціації функцій попиту. На жаль, вони не дуже інтуїтивні.

Debreu, G. (1972). Плавні параметри. Econometrica, 40 (4), 603-615. Debreu, G. (1976). Гладкі налаштування: Виправлення. Econometrica, 44 (4), 831.

Якщо ви хочете накласти достатні умови на уподобання, на жаль, мені здається, що це практично неможливо. Якщо функція корисності описує упорядкування переваг, то так само робиться кожна монотонна трансформація тієї ж функції корисності. Якщо функція корисності $ U $ приймає принаймні два значення, наприклад $ a $ і $ b $, можна використовувати наступну монотонну функцію $$ f (u) = \ t begin {масив} {ll} u & amp; mbox {if} u leq frac {a + b} {2}. . \ T u + 1 & amp; mbox {if} u & gt; frac {a + b} {2}. end {масив} права. $$ отримати нову функцію корисності $ f (U) $, яка б все одно описувала ті ж переваги. Однак ця функція не буде диференціюватися, навіть якщо $ U $. Єдиний спосіб гарантувати, що функція корисності, що описує упорядкування переваг, завжди диференційована, якщо ви не дозволяєте будь-якій формі взяти дві різні значення, тобто якщо всі товари нейтральні до споживача.

Якщо ви хочете накласти умови на самі функції корисності, мені здається, вам доведеться вимагати, щоб граничні утиліти існували і є безперервними, що те саме, що і функція корисності диференційована. Отже, це не дуже корисний стан. Може існувати краща умова, але я не думаю, що це має місце.