Ціноутворення європейської опціону, в той час як відсутність арбітражу порушується

Припустимо, що ми маємо загальну одноперіодну ринкову модель, що складається з d + 1 активів і N станів.

Використовуючи реплікаційний портфель $ phi $, визначте $ Pi (0; X) $, ціну європейської опції виклику, з виграшним $ X $, на активи $ S_1 ^ 2 $ з ціною виконання $ K = 1 $ з огляду на це

$$ S_0 = початок {bmatrix} 2. 3 1 end {bmatrix}, S_1 = початок {bmatrix} S_1 ^ 0. \ T S_1 ^ 1. S_1 ^ 2 end {bmatrix}, D = початок {bmatrix} 1 & amp; 2 & amp; 3 2 & amp; 2 & amp; 4 0,8 & amp; 1.2 & amp; 1.6 end {bmatrix} $$

де стовпці D представляють держави для кожного активу, а рядки D представляють активи для кожного стану

Що я спробував:

Ми обчислимо, що:

$$ X = початок {bmatrix} 0. 0,2. 0,6 end {bmatrix} $$

Якщо вирішити $ D 'phi = X $, то отримаємо:

$$ phi = початок {bmatrix} 0,6 \ t 0,1. -1 end {bmatrix} $$

Здавалося б, ціна європейської опціону виклику $ Pi (0; X) $ задається значенням реплікаційного портфеля

Phi = 0,5 $ $

З одного боку, якщо ми спробуємо побачити, чи є на цьому ринку арбітраж, бачачи, чи існує ціновий вектор держави $ psi $, вирішуючи $ S_0 = D psi $, ми отримуємо

$$ psi = початок {bmatrix} 0. -0,5. \ T 1 end {bmatrix} $$

Отже, не існує чітко позитивного цінового вектора стану $ psi $ s.t. $ S_0 = D psi $. До "фундаментальна теорема ціноутворення на активи" (або "фундаментальна теорема фінансів" або '1.3.1' тут ), на цьому ринку існує арбітраж.

З іншого боку, ціна 0,5 підтверджується:

$$ Pi (0; X) = бета Е ^ {mathbb Q} [X] $$

де $ бета = sum_ {i = 1} ^ {3} psi_i = 0.5 $ (сума елементів $ psi $) і $ mathbb Q $ вважається еквівалентною мартингальною мірою, заданою в $ q_i = frac {psi_i} {beta} $.

Таким чином ми маємо

$$ E ^ {mathbb Q} [X] = q_1X (омега_1) + q_2X (омега_2) + q_3X (\ t

$$ = 0 + колір {червоний} {- 1} 0,2 + 2 0,6 = 1 $$

$$ на Pi (0; X) = 0.5 $$

Я думаю, що $, тому ми не можемо визначити ціну європейського виклику, використовуючи $ Pi (0; X) = бета E ^ {Q} [X] $, тому що немає еквівалентного мартингального мірила $ mathbb Q $

Отже, який вердикт? Чи можна сказати, що ціна 0,5? Як ми можемо цінувати, навіть якщо є арбітраж?

Edit: Я помітив, що одна з ймовірностей, в тому, що була зроблена спроба бути еквівалентною мірою мартингаль, є негативною. Я пам'ятаю, що читав негативні ймовірності , але ці посилання 1 2 згаданий Wiki, здається, передбачає відсутність арбітражу, тому я вважаю, що вони не застосовні. Або вони?

Можливо, цей ринок можна вважати арбітражним міра квазіпрояви що дозволяє негативні ймовірності?

Редагувати (для адреси видаленої відповіді):

Завдяки BKay.

1 Отже, ви маєте на увазі, що немає єдиної ціни для $ X $, але ми можемо знайти верхню межу? Як і у вашому прикладі, найменша верхня межа досі становить 0,3, тоді ми можемо продовжувати знаходити нижню верхню межу $ u_1, u_2, ... $ (або навіть вище нижню межу $ l_1, l_2, ... $), щоб сказати ціну $ X $ знаходиться в $ [0, inf_n u_n] $ (або $ [sup_n l_n, inf_n u_n] $)?

2 Re стохастичне панування, я не чув цього терміну в класах, але я думаю, що читав про це раніше. Чи може це залежати від (квазі) вірогідності? За такою ймовірнісною мірою домінує $ 0.5 S_1 ^ 2 $, але що про якусь міру квазіпроявимості?

3 $ q_i $ 's, а не $ psi_i $' s є ймовірностями

Я вважаю, що немає унікальної ціни. Скажімо, замість того, щоб купувати опцію ви витратили 0,5 на половину одиниці активу $ S ^ 2_1 $ Цей актив виплачує $ [0.4, 0.6, 0.8] $, перший порядок якого стохастично домінує над опцією. Отже, незважаючи на ваші ймовірні віросповідання щодо держав, у цій ситуації ви ніколи не платите $ 0,5 $ за варіант, який платить менше в кожному штаті. Це означає, що правильна ціна менше $ 0,5 $. Аналогічно, купівля $ 0.25 $ одиниць $ S ^ 0_1 $ або $ 0.167 $ одиниць $ S ^ 1_1 $ активу також буде стохастично домінувати над опцією. Насправді, оскільки за $ 0,375 $ одиниці активу $ S ^ 1_2 $, яка коштує на $ 0,375 $, ви все ще можете мати актив, який виплачує $ [0,3, 0,45, 0,6] $, малоймовірно, що ціна може бути навіть до $ 0,375 $. Актив 0 передбачає ціну нижче $ 0.4 $ та активи 1 нижче $ 0.45 $

Деякі Python-коди для вирішення:

import numpy as np
S0 = np.array([[2],[3],[1]])
D = np.array([[1,2,3], [2,2,4], [0.8, 1.2, 1.6]])
X = np.array([[0.0],[0.2],[0.6]])
phi = np.dot(np.linalg.inv(D.transpose()), X)
print('The weights of the portfolio that replicates payoff X are: \n', phi)
P_X = np.dot(S0.transpose(), phi)
print('With a price: ', P_X)
print('Normalizing to pay a fixed price P_X for each of the three assets, what payoffs can you get?')
D_norm = D/(2*S0)
print(D_norm)
print('Notice that all three first order stochastically dominate the option for a price of: ', P_X)
print(D_norm - X.transpose())
print('Using each of the base assets, what\'s the minimum quantity that dominates?')
D_relative = X.transpose() / D
print(D_relative)
Min_dominating_fraction = np.max(D_relative,axis=1)
print('Minimum fraction of each of the assets that dominates X\n', Min_dominating_fraction)
P_Min_dominating_fraction = S0.transpose() * Min_dominating_fraction 
print('At prices of: ', P_Min_dominating_fraction)
print('Therefore the option price should be less than: ', np.min(P_Min_dominating_fraction))

Цей код не визначає ціну опції, він просто показує мої розрахунки для вищезазначеного абзацу. Я вважаю, що реальна ціна цього варіанту дійсно буде нульовою, якщо дозволено короткочасне використання. Якщо ви купуєте три одиниці активу $ S ^ 2_0 $ і короткі одиниці $ S ^ 1_0 $, ви отримуєте актив із виплатами $ [0.4, 1.6, 0.8] $. Ця позиція нічого не варто брати, має позитивні виплати для всіх держав, а перший порядок стохастично домінує над самим варіантом. Оскільки можна зробити краще, ніж тиражувати портфель при нульовій вартості, ціна повинна бути нульовою. О божевілля на роботі, коли присутні арбітри!