Скажімо, у мене синус 1 кГц, тому немає вищих гармонік, то мені потрібно відібрати його принаймні на 2 кГц, щоб мати можливість його реконструювати.
Але якщо я здійснюю вибірку на частоті 2 кГц, але всі мої зразки знаходяться на нульовому схрещенні, то мій дискретизований сигнал взагалі не показує синусу, швидше ЕКГ померлого пацієнта. Як це можна пояснити?

Це також може бути розширено до більш високих частот вибірки. Якщо я вибираю більш складну форму хвилі на 10 кГц, я повинен хоча б отримати перші 5 гармонік, але якщо форма хвилі така, що зразки щоразу дорівнюють нулю, то знову ми нічого не отримуємо. Це не надумано, це цілком можливо для прямокутної хвилі з робочим циклом <10%.

То чому ж так здається, що критерій Найквіст-Шеннона тут здається недійсним?

Насправді вам потрібно трохи більше 2 кГц для вибірки синусоїд 1 кГц. Це не f N ≤ f S /

PS Якщо ви взяли ваш сигнал у складний простір, де синусоїда має вигляд де t - час, A - амплітуда, f - частота, і θ - зміщення фази, f

Несинусоїди

У випадку квадратної хвилі на 1 кГц з робочим циклом, меншим або рівним 10%, який відбирається при 10 кГц, ви не розумієте вхід.

Спочатку вам потрібно буде розкласти форму хвилі на ряд Фур'є, щоб зрозуміти, що таке амплітуди гармонік компонентів. Ви, мабуть, здивуєтеся, що гармоніки цього сигналу за останніх 5 кГц досить великі! (Правило третьої гармоніки, що на 1/3 настільки сильне, як основне, а 5-е - 1/5 основної, стосується лише квадратних хвиль на 50% робочого циклу .)

Основне правило сигналу зв'язку полягає в тому, що ваша складна пропускна здатність така ж, як і обернена часом вашого найменшого імпульсу, тому в цьому випадку ви шукаєте мінімальну смугу пропускання 10 кГц (від 5 кГц до 5 кГц) для 10% робочий цикл з основним на 1 кГц (тобто 10 кбіт / с).

Тож, що вас зіпсує, це те, що ці сильні гармоніки вищого порядку складатимуться та втручатимуться (конструктивно чи руйнівно) у ваші вбудовані гармоніки, тому абсолютно очікується, що ви не зможете отримати хорошої вибірки, тому що стільки інформації знаходиться за межами Nyquist гурт.

$F_S + f$$F_S - f$
$F_S / 2$

$-F_S / 2$$F_S / 2$
$F_S$

$F_S / 2$

$F_S$$F_S / 2$

Теорема в порядку. Ваш сигнал НЕ повинен містити частот, рівних або вище половини частоти дискретизації, згідно з Nyquist. Шеннон, ймовірно, це дозволяє, але саме його версія теореми викликає неоднозначність на критичній частоті.

Редагувати (Re: заборона на коротку відповідь?): Я не бачу необхідності пояснювати сам метод вибірки. Питання полягає в плутанині "критична частота включена в діапазон чи ні", і якщо формулювання теореми Шеннона містить помилку. Це насправді так (як я бачу у світовій вікі). Або, швидше за все, автори вікі точно процитували його слово. І, до речі, у 20 столітті цієї самої теореми є 4 незалежні автори, тож плутанина кожного, хто навчається ідеї з випадкових джерел, може погіршитися.

Якщо у вас є 2 зразки на синусоїді $N Hz$, і вони трапляються на нульових переходах, при $\frac{1}{2}N$ і $1N$ то можна визначити частоту сигналу за часом між двома зразками.

$f=\dfrac{1}{2t}$

Де $f$ - частота і $t$ - час між двома зразками, що перетинають нуль.

Але згідно Вікіпедії:

По суті, теорема показує, що відібраний дискретизований аналоговий сигнал може бути ідеально реконструйований з нескінченної послідовності зразків, якщо швидкість вибірки перевищує 2B зразків в секунду, де B - найвища частота вихідного сигналу.

Отже, частота дискретизації вдвічі більше частоти помилкова - вона повинна бути трохи більше вдвічі більше частоти. Таким чином послідовні зразки фіксують трохи різні ділянки форми хвилі.

При вибірці з певною швидкістю F кожна складова частоти f генерує псевдоніми виду kF + f і kF- f для всіх цілих значень k. У загальному використанні під час вибірки сигналу немає частотних компонентів вище F / 2, тому єдиними компонентами в діапазоні від 0 до F / 2 будуть ті, які були в вихідному сигналі. Після вибірки з’являться компоненти сигналу вище F / 2 (згенеровані як псевдоніми нижче). Найбільш клопітним з них для будь-якої частоти f в вихідному сигналі буде сигнал на частоті F- f .

Зауважимо, що як частота fнаближається до F / 2 знизу, перша частота псевдоніму наближатиметься до F / 2 зверху. Якщо на вході є сигнал на частоті F / 2-0.01 ГГц, то буде псевдонім на частоті F / 2 + 0,01 Гц - лише 0,02 Гц над ним. Відокремлення вихідних та псевдонімів буде теоретично можливим, але на практиці складно. Вибірна форма хвилі з'явиться у вигляді суми двох хвиль однакової сили майже однакової частоти. Таким чином, його амплітуда, як видається, змінюватиметься відносною фазою хвиль високої частоти. У випадку, коли вхідна частота точно F / 2, частота псевдоніму також буде точно F / 2. Оскільки між оригіналом та псевдонімом взагалі не буде частотного поділу, розділення буде неможливим. Фазовий зв’язок між початковим і в'язаним сигналами визначатиме амплітуду отриманого сигналу.