Чому працює теорема гоночної небезпеки?

Тож для тих, хто не знає, теорема про небезпеку гонки (RHT) говорить, що:

A x B + A 'x C = A x B + A' x C + B x C

Я розумію іншу частину RHT, про затримки в часі і таке інше, але я не розумію, чому вищезазначене твердження логіки повинно бути правдивим, чи може хтось допомогти мені зрозуміти це?

Як зазначали інші, математично твердження точно такі ж, а додатковий термін - "зайвий". Для мене також було б "зайвим" копіювати тут свої математичні докази.

Ви також можете легко переконатися, що твердження є рівнозначними, склавши 8-рядкову таблицю істинності для трьох комбінацій входів.

    A B C           A*B + A'*C                       A*B + A'*C + B*C
    0 0 0               0                                    0
    0 0 1               1                                    1
    0 1 0               0                                    0
    0 1 1               1  ** hazard b/w states              1
    1 0 0               0                                    0
    1 0 1               0                                    0
    1 1 0               1                                    1
    1 1 1               1  ** hazard b/w states              1

Мета додаткового терміну - не допустити, щоб A викликав будь-яке перемикання, коли і B, і C високі.

Наприклад, припустимо, що між A і A є обмежена кількість часу (розумне). Тепер також врахуйте, що і B, і C є "1". Як видно з форм сигналів нижче, на виході є глюк.

Якщо припустити, що логіка є статичною CMOS, глюк відновлюється. Але, якби це були деякі форми динамічної логіки, вона могла б поширити помилку.

Додавання зайвого терміна - це рішення для покриття глюку.

Доказ булевої алгебри:

A x B + A 'x C [зліва]
= A x B x 1 + A' x C x 1 [Не спрощено І з істинним]
= A x B x (1 + C) + A 'x C x ( 1 + B) [Істинно АБО що-небудь]
= A x B x 1 + A x B x C + A 'x 1 x C + A' x B x C [Розподілити]
= A x B + A x B x C + A 'x C + A' x B x C [Спростити ТА з істинним]
= A x B + A 'x C + A x B x C + A' x B x C [Переставити терміни]
= A x B + A 'x C + (A + A ') x B x C [Факторизація]
= A x B + A' x C + 1 x B x C [АБО заперечення вірно]
= A x B + A 'x C + B x C [ Правосторонній]

Доведення справами:

• Нехай B x C - це правда.
  Тоді B є істинним, а C - істинним одночасно.
  Тож права частина стає A x B + A 'x C + 1 x 1 = 1.
  Ліва сторона стає A x 1 + A' x 1, що дорівнює 1 незалежно від A.
  Отже, LHS дорівнює RHS.
• Припустимо, що B x C помилково.
  Тоді права частина стає A x B + A 'x C + 0 = A x B + A' x C, що робить її ідентичною LHS.
  Отже LHS дорівнює RHS.

У всіх випадках LHS дорівнює RHS. Тому ми робимо висновок, що дві формули завжди оцінюють однакове значення.

Список літератури:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Consensus_theorem
• https://www.nayuki.io/page/boolean-algebra-laws

Розглянемо LHS самостійно:
A x B + A 'x C

Якщо і B, і C вірні в цьому твердженні, чи умова A чи має значення в результаті?
Ні - тому що або (A x B), або (A 'x C) буде істинним, створюючи результат true.

Отже, дивлячись на RHS, перші 2 І терміни - це просто дублікат LHS, а 3-й термін AND являє собою те, що ми тільки що дізналися про B&C.

$AB + A'C + BC = AB + A'C + (A+A')BC \textrm{ -- Multiply BC term by 1}\\ = AB + A'C + ABC + A'BC \textrm{ -- Distribute the term}\\ = (AB + ABC) + (A'C + A'BC) \textrm{ -- regroup} \\ = AB(1+C) + A'C (1 + B) \textrm{ -- factor} \\ = AB + A'C \textrm{ -- Simplify}$

Давайте подивимось на карту Карно :

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$