Яка фізична інтерпретація другого члена в тензорі в'язких напружень в рівняннях Нав'є-Стокса?

Я шукав цю відповідь деякий час. Я читав численні тексти і навіть переглядав деякі лекції в Інтернеті, але часто це не пояснюється, а просто не дається. Термін в'язкого стресу в рівняннях Нав'є-Стокса виглядає так

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot мк (\nabla \vec{у} + (\nabla \vec{у})^{Т})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Тепер термін зрозуміти досить просто, оскільки це просто дифузія швидкості, але мені важко придумати фізичну інтерпретацію терміна . Після розширення цього терміну я закінчила роботу $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot мк (\nabla \vec{у})^{Т} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial х} \nabla \cdot \vec{у} \\ \frac{\partial}{\partial у} \nabla \cdot \vec{у} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{у} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

що, мабуть, означає, що цього ефекту немає в поле, що не відрізняється від швидкості, але я все ще не можу придумати або знайти якусь фізичну інтуїцію щодо того, що насправді означає цей термін. Хтось розуміє, що фізично являє собою цей термін?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Адам О'Брайен
джерело

Додавання: ви правильні, що термін відсутній у стисливому потоці. Схоже, вона враховує дифузію імпульсу через градієнти в щільності. Дві сусідні посилки рідини можуть мати однакову швидкість, але різну силу, між ними немає напруги зсуву, але імпульс буде розсіяним.

— Dan

Це питання є тематичним для Engineering. Я видалив декілька коментарів, які пропонують інші сайти щодо цього питання. Частково через прохання застосувати розуміння рівняння, а також тому, що це частина механіки континууму. Будь ласка, пам’ятайте, що добре бути трохи ревнивим до свого сайту

Мета-дискусія, пов’язана з цим: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Точка про наявність градієнта імпульсу через градієнта ненульової щільності була хорошою. Дякую всім за відповіді!

— Адам О'Браєн

Відповіді:

Не слід розділяти ці два терміни в пошуках фізичної інтерпретації. Термін - тензор швидкості деформацій . Потік імпульсу (або напруження) через те, що у нас тече рідина, враховується на весь термін . У рівнянні НС обидва доданки можна розглядати як щільність сили (сила на одиницю об'єму). Ви маєте рацію, що другий додаток є нульовим для стисливих потоків (див. Тут ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

ОНОВЛЕННЯ: Повне виведення тензора швидкості деформації є складним, і воно може бути поза сферою. Якщо ви зацікавлені, я виявив, що хорошим ресурсом є Введення в механіку рідин від компанії Whitaker. Якщо коротко, дозвольмо прийняти, що тензор являє собою швидкість деформації і твердий, як обертальний рух. Будь-який тензор можна розкласти наступним чином: $\nabla \vec{u}$

\nabla \vec{у} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{у} + {(\nabla \vec{у})}^{Т}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{у} - {(\nabla \vec{у})}^{Т})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$ Перший член, як правило, називається тензором швидкості деформації, є симетричним, і може бути показано, що він не включає жорсткого обертального руху. Другий член, як правило, називається тензором вихору, його перекос симетричний, і може бути показано, що він не сприяє швидкості деформації і що він являє собою жорсткий, як обертальний рух.

— Саломон Тургман
джерело

Це те, що я виявив, дивлячись на це, але я намагався знайти щось на зразок виведення тензора швидкості деформації, перш ніж приступити до відповіді, щоб зрозуміти, чому він включає в себе регулярну і транспозиційну матрицю.

— Тревор Арчібальд

Дякую, я пройшов виведення тензору деформацій із геометрії, як ви запропонували, і це мені дуже допомогло.

— Адам О'Браєн

Я погоджуюся з @sturgman, не слід дивитись на окремі частини, а намагатися зрозуміти це в ints контексті.

Дивлячись на саму базову версію рівняння Нав'є-Стокса (використовуючи позначення Ейнштейна ):

ρ \frac{D у_{i}}{D т} = ρ к_{i} + \frac{\partial}{\partial х_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial у_{к}}{\partial х_{к}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{у}) + (\nabla \vec{у})^{Т}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial х_{j}} (η [\frac{\partial у_{i}}{\partial х_{j}} + \frac{\partial у_{j}}{\partial х_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Занижена частина в оригіналі може бути переписана.

\frac{\partial}{\partial х_{j}} (η [\frac{\partial у_{i}}{\partial х_{j}} + \frac{\partial у_{j}}{\partial х_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} у_{i}}{\partial х_{j} \partial х_{j}} + \frac{\partial}{\partial х_{i}} [\frac{\partial у_{к}}{\partial х_{к}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Що призводить до:

ρ \frac{D у_{i}}{D т} = \underset{Я}{\underset{⏟}{ρ к_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial х_{i}}}} + \underset{ІІІ}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial х_{i}} [\frac{\partial у_{к}}{\partial х_{к}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} у_{i}}{\partial х_{j} \partial х_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

У символічній нотації це має виглядати так:

ρ \frac{D \vec{у}}{D т} = ρ \vec{к} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{у}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{у}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

Частина не завжди відображається таким чином залежно від способу введення тензору напружень Ньютона. Оскільки - властивість текучого середовища, яку важко виміряти, але змінюється лише мало, гіпотеза Стокса встановлює її до (Що технічно справедливо лише для одноатомних газів). $\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

Частина описує особливість рідини, де структура атома молекули рідини може поглинати енергію, її іноді називають в'язкістю тиску. Тоді як Частина описує опір потоку при зсуві, частина описує опір об'єму рідини, коли він "ізобарно" розширюється або стискається. $\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
джерело

Мені шкода :-( Це не було моїм наміром.

— peterh - Поновіть Моніку