Чи є тривимірний еквівалент шестигранних плиткових карт?

Мабуть, найбільша перевага плитки на основі шестигранних та квадратних карт полягає в тому, що центр кожного шестигранника має однакову відстань до всіх його сусідніх шестигранників. Чи є подібна форма, яка так укладається в 3D, і двигун, який підтримує таку модель?

Команда тегів Google і Wikipedia допоможе:

Тесселяція та, більш конкретна для 3D, сотова - це термін, який потрібно шукати. Кубики справді єдині регулярні (всі грані конгруентні) ТА ​​заповнюють простір (не залишаються прогалини, як при упаковці кулі) багатогранники в тривимірному просторі. Але вони мають таку ж проблему, що і 2D-квадрати - широко змінюються відстані до сусідів.

Bitruncated кубічний сот виконаний з усічених октаедрів (досить ковток) дуже близько до того , що я просив. Мінуси полягають у тому, що усічений октаедр не є регулярним (квадрати та шестикутні грані) і має менше сусідів, ніж куб (14 проти 26), але він заповнює простір єдиним, повторним твердим і має (приблизно) рівну відстань до всіх його сусідів.

2D-шестикутні карти - це представлення сфер, упакованих у плоский (2D) лоток, причому кожна шестигранна орієнтована на еквівалентну сферу, і дозволяють визначати відстані між клітинками для справної (у будь-якому випадку ігрових цілей) точності, просто шляхом підрахунку кількості шестигранні клітини, через які ви переходите.

Еквівалентне 3D-зображення - це кутові (FCC) / кубічні закриті упаковки (CCP), зазначені вище, із застосуванням ромбічних додекаедрів.

Ця стаття у Вікіпедії, зокрема, стосується FCC / CCP, і ця інша стаття порівнює його з шестикутною закритою упаковкою (HCP), але друга стаття, як правило, трохи більш математична.

Я досліджував їх використання в картуванні RPG, але хоча у них є приваблива «коректність» щодо них (математична основа, здатність запакувати простір без прогалин, симетрія, коли зрізи беруть через решітку тощо), справжнє проблеми для ігрових цілей, як видається, є труднощами, з якими зіткнуться гравці / ГМ у візуалізації, та відсутність очевидної системи координат для їх посилання.

Хоча мене це болить, прості кубики з координатами {x, y, z} виглядають набагато простішим рішенням, що дозволяє всім зосередитись на геймплейі, а не постійно збивати з пантелику нетривіальним вибором стандарту відображення.

Тільки мої 2 копійки, хоч і дуже пізнє доповнення до цієї нитки.

Ох, окрім налаштувань на тематику космосу, кожна комірка має дванадцять суміжних комірок (три нагорі, три знизу та шість навколо площини), і це дозволяє чітко поєднати сузір’я / астрологію. Уявіть домашній сектор у вихідній комірці, а потім назвіть кожен сусідній сектор за одним із астрологічних сузір'їв. Подібно до того, як шістнадцяткові карти можна розкласти на менші шестигранники, клітини FCC можуть бути розкладені на менші комірки, що дозволяє кожному сектору, названому за сузір'ям, розкластись на підсектори. "Встановимо курс для підсектора 031 сектора Близнюків" ...

Стюарт

Існує два простих тривимірних аналогах гексагональної решітки: гексагональна закриваюча упаковка (HCP) та кубічна закриваюча упаковка , також кубічна решітка, орієнтована на обличчя (CCP / FCC).

Обидві ці ґрати досить схожі: вони мають однакову кількість найближчих сусідів на ділянці (12) та однакову щільність упаковки сфери (~ 74%), і обидві їх можна розкласти на складені двошарові шестигранні ґрати.

Із двох, я б вважав решітки КПК дещо «приємнішими»: вона більш симетрична, не має осі, як решітка HCP. Зокрема, якби ви сиділи всередині однієї з осередків решітки КПК і дивилися на одну з найближчих сусідських осередків, решітка виглядала б однаково, незалежно від того, з якої сусідської клітини ви дивилися. Це не справедливо для решітки HCP.

Клітини черепиці КПК є приємними та симетричними ромбічними додекаедрами , тоді як клітини HPC скручені в трапецо-ромбічні додекаедри . Ось зображення деяких ромбічних додекаедрів, викладених плиткою, щоб утворити решітку КПК з Вікіпедії:

(Зображення користувача Wikipedia AndrewKepert, що має ліцензію за програмою GFDL 1.2+ / CC-By-SA 3.0.)

Також зауважте, що, як підказує альтернативна назва "кубична решітка, орієнтована на обличчя", існує дуже проста формула пошуку центрів комірок в решітці КПК: почніть з простої кубічної решітки з точками на кутах кубів, і додайте нові точки в центрах граней кубів. Найближчими сусідами точок на кутах є ті, що розташовані на 12 суміжних гранях, тоді як найближчими сусідами точок на гранях є 4 на сусідніх кутах плюс 8 на сусідніх гранях двох кубів, які ділять обличчя, на яке центральна точка лежить. (З деякою геометрією ви можете показати, що околиці всіх точок насправді виглядають однаково, навіть незважаючи на те, що ця конструкція виглядає так, ніби "точки обличчя" відрізняються від "кутових точок".)

(Примітка. На сторінці MathWorld, на яку я посилався вище, схоже, є помилка, що визначає щільність спорідненої, не закритої кутової решітки "Body-Centered Cubic" також як 74% - це фактично близько 68%.)

Я погоджуюся з @Cyclops, що це, мабуть, краще запитати при обміні стеком математики, але тим часом ви можете заглянути в структуру закриття шестикутної закриття . Це найбільш щільне розташування сфер у 3D, і хоча відстань до всіх сусідів не рівномірна, це може бути найкращим, що ви збираєтеся отримати. Cubic Алмазна решітка має однакову відстань до безпосередніх сусідів, але це досить вільно упаковано, і кожна точка має тільки чотири сусідніх точок.