Обертовий вектор3 кватерніоном

Я намагаюся повернути вектор3 заданим кватерніоном.

Я знаю, що це правда

$$v' = q \cdot v \cdot q^{-1}$$

Я знаю, що є оберненою, яка просто , але як я зіставити множення вектора на кватерніон, щоб повернути вектор?$q^{-1}$$\frac {-q} {magnitude(q)}$

Я виявив, що ви можете ставитися до як до матриці та перетворювати і в матриці, а потім перетворювати з матриці у вектор, але це здається трохи вгорі, щоб отримати вектор. Чи є більш чиста реалізація, яку я міг би використати?$v$$q$$q'$$v'$

Як показали Натан Рід і теодрон, рецепт обертання вектора v кватерніоном q одиниці довжини :

1) Створіть чистий кватерніон p з v . Це просто означає додавання четвертої координати 0:

$$p = (v_x, v_y, v_z, 0) \Leftrightarrow p = (v, 0)$$

2) Попередньо помножте його на q і помножте на кон'югат q * :

$$p' = q \times p \times q*$$

3) У результаті вийде ще один чистий кватерніон, який можна повернути до вектора:

$$v' = (p'_x, p'_y, p'_z)$$

Цей вектор $v'$ є $v$ повернута на $q$ .

---

Це працює, але далеко не оптимально . Множення кватерніона означає тонни і тонни операцій. Мені було цікаво різних реалізацій, таких як ця , і вирішив знайти, звідки вони прийшли. Ось мої висновки.

Ми також можемо описати q як поєднання тривимірного вектора u та скалярного s :

$$q = (u_x, u_y, u_z, s) \Leftrightarrow q = (u, s)$$

За правилами множення кватерніона , і оскільки сполучник одиниці довжини кватерніона просто обернений, ми отримуємо:

$$\begin{align} p' &= qpq* \\ &= (u, s)(v,0)(-u, s) \\ &= (sv + u \times v, -u \cdot v)(-u, s) \\ &= ((-u \cdot v)(-u) + s(sv + u \times\ v) + (sv + u \times v) \times (-u), \dots) \\ &= ((u \cdot v) u + s^2v + s(u \times v) + sv \times (-u) + (u \times v) \times (-u), \dots) \end{align}$$

Скалярна частина (еліпси) призводить до нуля, як детально описано тут . Що цікаво, це векторна частина, AKA наш обертовий вектор v ' . Його можна спростити за допомогою деяких основних векторних ідентичностей :

$$\begin{align} v' &= (u \cdot v)u + s^2v + s(u \times v) + s(u \times v) + u \times (u \times v) \\ &= (u \cdot v)u + s^2v + 2s(u \times v) + (u \cdot v)u - (u \cdot u)v \\ &= 2(u \cdot v)u + (s^2 - u \cdot u)v + 2s(u \times v) \end{align}$$

Зараз це набагато оптимальніше ; дві крапкові вироби, поперечний продукт і кілька додаткових: близько половини операцій. Що б дало щось подібне у вихідному коді (якщо припустити, загальна бібліотека векторної математики):

void rotate_vector_by_quaternion(const Vector3& v, const Quaternion& q, Vector3& vprime)
{
    // Extract the vector part of the quaternion
    Vector3 u(q.x, q.y, q.z);

    // Extract the scalar part of the quaternion
    float s = q.w;

    // Do the math
    vprime = 2.0f * dot(u, v) * u
          + (s*s - dot(u, u)) * v
          + 2.0f * s * cross(u, v);
}

Перш за все, q ^ (- 1) - не -q / величина (q); це q * / (величина (q)) ^ 2 (q * - кон'югат; це заперечує всі компоненти, крім реального). Звичайно, ви можете залишити поділ на величину, якщо всі ваші кватерніони вже нормалізовані, що вони, як правило, будуть в системі обертання.

Що стосується множення з вектором, то ви просто подовжуєте вектор на кватерніон, встановлюючи справжній компонент квата до нуля, а його компоненти ijk - на ксиз вектора. Потім ви робите множення кватерніона, щоб отримати v ', а потім знову витягуєте компоненти ijk. (Справжня частина v 'завжди повинна виходити за нуль, плюс або мінус деяка помилка з плаваючою комою.)

Перше зауваження: обернення qне -q/magnitude(q), це абсолютно неправильно. Повороти з кватерніонами означають, що ці еквіваленти 4D складних чисел мають унітарну норму, отже, лежать на одиничній сфері S3 у тому 4D просторі. Те, що кват є унітарним, означає, що його норма є, norm(q)^2=q*conjugate(q)=1і це означає, що зворотний кват є його спорідненим.

Якщо одиничний кватерніон записується як q=(w,x,y,z)= (cos (t), sin (t) v ), то його сполучник дорівнює conjugate(q)=(w,-x,-y,-z)= (cos (t), - sin (t) v ), де t - половина кута повороту і v - вісь обертання (звичайно, як одиничний вектор).

Коли той хлопець Гамільтона вирішив пограти зі складними еквівалентами кількості у більш високих розмірах, він також натрапив на деякі приємні властивості. Наприклад, якщо ви використовуєте абсолютно чистий кватерніон q=(0,x,y,z)(без скалярної частини w !), Ви можете вважати це лайно вектором (це насправді квот на те, що люди можуть назвати екватором сфери S3, що є сферою S2! - розум згинаючи речі, якщо врахувати, наскільки технічно занепокоєні люди в 19 столітті здаються нам очі ковбоями в даний час). Тож Гамільтон прийняв цей вектор у своєму квазі вигляді: v=(0,x,y,z)і зробив серію експериментів з урахуванням геометричних властивостей кватів. Короткий розповідь:

INPUT: _v=(x,y,z)_ a random 3D vector to rotate about an __u__ unit axis by an angle of _theta_

OUTPUT: q*(0,_v_)*conjugate(q)

де

 q = (cos(theta/2), sin(theta/2)*u)
 conjugate(q) = inverse(q) = (cos(theta/2), -sin(theta/2)*u)
 norm(q)=magnitude(q)=|q|=1

Спостереження: q * (0, v) * conj (q) має бути ще одним кватом форми (0, v '). Я не буду проходити через все це, очевидно складне пояснення, чому це відбувається, але якщо ви обертаєте чистий уявний кватерніон (або вектор у нашому випадку!) Цим методом, ви повинні отримати подібний об’єкт: чистий уявний кват. і ви берете його уявну роль як результат. Там у вас є, дивовижний світ обертів з кватерніонами в горіховій (ти) оболонці.

ПРИМІТКА : до кого вскочить ця надмірно використана фраза: квати хороші тим, що вони уникають їхнього замкового каркасу. Спершу слід розблокувати свою уяву !! Квати - це просто «елегантний» математичний апарат, і його можна взагалі уникнути, використовуючи інші підходи; той, який я вважаю абсолютно геометрично еквівалентним, є кутовим підходом до осі.

КОД : Бібліотека C ++, яка мені здається, є досить спрощеною, але має всі матричні, векторні та кватні операції, які потребує експерименталіст з 3D-графіки, не витрачаючи більше 15 хвилин, щоб вивчити це. Ви можете перевірити те, що я написав тут, використовуючи це за 15 хвилин, якщо ви не новачок на C ++. Удачі!

Ось альтернативний спосіб перетворення вектора кватерніоном. Це так, як це робить MS у рамках xna. http://pastebin.com/fAFp6NnN

Я спробував це обробити вручну і придумав таке рівняння / метод:

// inside quaterion class
// quaternion defined as (r, i, j, k)
Vector3 rotateVector(const Vector3 & _V)const{
    Vector3 vec();   // any constructor will do
    vec.x = 2*(r*_V.z*j + i*_V.z*k - r*_V.y*k + i*_V.y*j) + _V.x*(r*r + i*i - j*j - k*k);
    vec.y = 2*(r*_V.x*k + i*_V.x*j - r*_V.z*i + j*_V.z*k) + _V.y*(r*r - i*i + j*j - k*k);
    vec.z = 2*(r*_V.y*i - r*_V.x*j + i*_V.x*k + j*_V.y*k) + _V.z*(r*r - i*i - j*j + k*k);
    return vec;
}

Я був би вдячний, якщо хтось перегляне mt деривацію, я використав http://pastebin.com/8QHQqGbv, я б запропонував скопіювати у текстовий редактор, який підтримує бічну прокрутку

у своєму позначенні я використовував q ^ (- 1) для позначення кон'югатів, а не зворотних та різних ідентифікаторів, але я сподіваюся, що це можна зрозуміти. Я думаю, що більшість прав, особливо там, де докази реальної частини вектора зникнуть.