Чи монотонна відстань на Манхеттені, коли вона використовується як евристична функція?

Я маю квадратну карту. Допускається лише горизонтальний і вертикальний рух (без діагоналей). Вартість руху завжди 1.

Я реалізую алгоритм A * на цій карті, використовуючи відстань на Манхеттені як евристику відстані. Чи відповідає це евристика? Чи можу я уникнути перевірки g(node)на наявність вузлів, які знаходяться у ЗАКРИТИЙ набір?

Редагувати: Під послідовними маю на увазі монотонні.

Насправді відповісти на ваше запитання: відстань manhatten є послідовною, коли ви обмежені рухатися вертикально / горизонтально по незваженій сітці (це може бути легко показано визначенням у wikipedia) . Так, так, у вашому випадку ви можете уникнути повторної перевірки вузлів у закритому наборі.

Однак, якщо ви дозволите рух по діагоналі або під кутом будь-якого кута, відстань від людини стає недопустимою, оскільки вона завищує діагональні витрати, що обов'язково означає, що вона не є послідовною.

Так, відстань на Манхеттені між двома точками завжди однакова, як і регулярна відстань між ними. Можна подумати, що відстань на Манхеттені - це компоненти X і Y лінії, що проходить між двома точками.

Це зображення ( з Вікіпедії ) це добре ілюструє:

The Зелена лінія фактичне відстань.

В синіх , червоних і жовтих лініях все є один і той же Manhattan відстань (12 одиниць). Незалежно від того, яку комбінацію рухів вгору та праворуч ви малюєте від нижньої лівої точки до правої знизу, ви отримаєте однакову загальну відстань на Манхеттені.

У продовження відповіді Byte56 я хотів би зазначити, що у вашому конкретному наборі даних використання дистанції Манхеттена як вашої евристичної функції насправді завжди буде ідеальним евристичним в тому сенсі, що воно завжди повертає фактичну вартість шляху (якщо припустити, що існує нічого не перекриває стежки).

Слід також зазначити, що всі вузли в правильному напрямку (або по горизонталі, або по вертикалі) дадуть однакову очікувану відстань (адже до мети існує багато однаково коротких шляхів). Ви повинні знати, що ваша черга пріоритетів (відкритий набір) повинна, у разі зв'язаних пріоритетів, видалити спочатку останній доданий вузол (LIFO - Last In First Out). Роблячи це, ви вивчите лише ті вузли, які опиняться на оптимальному шляху . Якщо ви вивчите однаково підходящі вузли FIFO (First In First Out), ви ефективно вивчите всі вузли, які є частиною найкращого шляху. Ця проблема виникає через те, що до вузла цілі існує кілька однаково хороших шляхів.

Я не впевнений, що ви маєте на увазі під "завжди" послідовним. Чи незалежна відстань від Манхеттена на нерухомій сітці від пройденого шляху? Так, як сказано у відповіді Byte56.

Однак, наприклад, відстань на Манхеттені не є інваріантною при обертаннях. Наприклад, відстань Манхеттена ( L1-норма ) між початком і точкою (10,10)є |10-0| + |10-0| = 20. Однак якщо ви обертаєте свої координати на 45 градусів (тож тепер ваша фіксована точка лежить уздовж одного з напрямків сітки), ви зараз знайдете ту саму точку, якою є (10sqrt(2),0)відстань на Манхеттені від початку 10sqrt(2)~14.14.