Як можна додати і відняти опуклі багатокутники?

У мене два 2D опуклі багатокутники, які перекриваються один з одним . Я шукаю алгоритм віднімання та додавання їх. Результатом повинен бути один увігнутий багатокутник або (ще краще) набір найбільших опуклих, що утворюють увігнутий результат (наприклад, трикутники).

( Зліва: Початкові багатокутники, що перекриваються. Середній: Отриманий увігнутий багатокутник після додавання. Праворуч: Набір опуклих багатокутників, що утворюють увігнутий результат. Тут краще було б отримати опуклі багатокутники, більші за трикутник, з причин продуктивності. два полігони, що перекриваються, призвели б до тієї ж картини, що і зліва, але область, що перекривається, не буде частиною багатокутника, що перетворюється.)

Як я можу це зробити?

TL; DR Вам потрібно реалізувати булові операції за допомогою дерев BSP.

Ну, мабуть, тут йдеться про конструктивну геометрію суцільного тіла . Я реалізував CSG на комерційному рівні, тому я знаю щось про нього.

Класичний документ про CSG називається об'єднанням поліедральних наборів BSP Trees Yields , якщо чесно, тут пояснюється занадто багато, але коротко кажучи, алгоритм стосується багатокутників, які лежать на одній площині, як бінарний розділ простору, в основному будуючи дерево BSP з кожної багатокутної сітки. Другий крок - об'єднання цих дерев BSP; ви просто берете одне дерево і вставляєте його в інше. Потім алгоритм пояснює, як поводитися з кожним вузлом аркуша для поділу та підстрахування вузлів, вузли, які не потрібні в остаточній формі, будуть видалені, а іншим буде надано відповідний батьківський елемент.

Але зачекайте! Цей документ в основному говорить про полігональні сітки та тривимірні площини, НЕ?

Алгоритм можна узагальнити в будь-який вимір, тому у вашому двовимірному випадку легко використовувати сегменти рядків замість площини як бінарні розділи. Таким чином, кожен багатокутник буде перетворений у дерево BSP, ніж два будуть об’єднані. Нарешті ви перетинаєте отримане дерево, щоб генерувати остаточний багатокутник,

Зауважте, що цей алгоритм і CSG взагалі не стосується візуалізації та сітчастої грані безпосередньо та не є насправді готовою, тому вам потрібно витягнути обличчя кінцевих дерев BSP. Я також вважаю, що відстеження променів є більш простим підходом для відображення результату CSG. Вам потрібні лише промені, щоб обрізати дерево, а не витягувати та розбивати обличчя (пам'ятайте, що ми маємо справу лише з двійковими розділами).

Щодо чисельної стійкості. Добре зазначити, що існує два типи геометричних обчислень,

• Ті, що базуються на побудові, ви будуєте форму на основі результату попередньої операції. Наприклад, y = sqrt(x)а потім використовувати yв новій операції. Це називається будівництвом; проблема полягає в тому, що числові помилки накопичуються швидко.
• Крім того, є операції, які використовують предикати замість цього, по суті, замість того, щоб використовувати конструкцію, ви просто запитуєте, чи умова є істинним / хибним, і ви використовуєте те саме значення в різних операціях. Класичні тести включають incircle та орієнтаційний тест; це також підозрює чисельні помилки, особливо якщо ви використовуєте одинарну або подвійну точність, але зазвичай дають набагато кращі результати. існують інші рішення, що залежать від швидкості та точності. Ось один із останніх робіт, які уникають побудови, використовуючи геометрию на площині, щоб дати точні результати. Я також цитую з статті:

Концепцію представлення багатокутних сіток на площині вперше описали Сугіхара та Ірі [SI89]. Цей вид подання надає одну важливу перевагу, коли мова йде про завдання, що передбачають зміну топології твердих тіл, представлених сітками, як-от оцінка булевих виразів: жодна нова інформація про первинну геометрію не повинна бути побудована для отримання отриманого багатогранника

І нарешті, я хотів би додати, якщо ви хочете розпочати реалізацію CSG BSP, я б рекомендував починати з Faqs BSP .

Ідучи своїм прикладом:

Виберіть початкову вершину на багатокутнику А і починайте перевіряти наявність пересічних ребер за годинниковою стрілкою (або проти годинникової стрілки). Якщо перетину немає, додайте попередню вершину до отриманого багатокутника. Якщо є перехрестя, додайте точку, в якій вони перетиналися, до отриманого багатокутника, а потім починайте ітерацію над полігоном B, у тому ж порядку обмотки. Зробіть те саме, знову поміняючи місце на багатокутник А, якщо відбудеться перетин.

Після того, як ви накопичили всі вершини для нового многокутника, виконайте на ньому алгоритм тріангуляції. Метод відсікання вуха легко здійснити, але там є швидші варіанти.

Важливо: переконайтеся, що вершина, з якої ви починаєте, не знаходиться в іншому багатокутнику (перевірте цю статтю на предмет тестів на багатокутник).

Ітерація над кожним краєм для перевірки перетину була б алгоритмом O (n ^ 2). Ви можете пришвидшити це, спочатку знайти вершини, що знаходяться всередині іншого багатокутника, оскільки краї, пов'язані з цими вершинами, будуть перетинаються.

Якщо ви хочете увігнутий багатокутник, просто виберіть найближчий край між двома вхідними багатокутниками та додайте два нові краї:

Опуклий стає дещо складнішим:

Один підхід є ітераційним, оскільки він додає вершини від другого многокутника до першого, по одному, перетворюючи перший багатокутник у контейнер, який охоплює все.

В основному:

• Ітерація через вершини другого багатокутника.
• Для кожної вершини V пройдіть через ребра першого многокутника:
• Знайдіть "діапазон" ребер, які всі стикаються з вершиною
• візьміть зовнішню пару вершин, які визначають цей діапазон, і видаліть усі ребра в діапазоні, який їх з'єднує
• Намалюйте два нові відрізки від цих зовнішніх вершин до нової вершини (з другого многокутника), переконавшись, що нові ребра стикаються у правильному напрямку.
• Перехід до наступної вершини з другого многокутника

Ось схема, що ілюструє процес для першої вершини:

Більш швидкий метод - знайти список ребер на кожному багатокутнику, які не стикаються з іншим багатокутником, видалити все інше та з'єднати кінцеві точки решти смуг рядків між собою.

Можливо, хтось інший може прислухатися до якоїсь поради щодо віднімання.