Наскільки точне наближення Землі до сфери?

З яким рівнем помилок я стикаюся при наближенні Землі до сфери? Зокрема, при роботі з розташуванням точок і, наприклад, великими відстанями кола між ними.

Чи є дослідження середньої та найгіршої помилки порівняно з еліпсоїдом? Мені цікаво, якою точністю я б приніс шкоду, якщо пітиму зі сферою заради простіших розрахунків.

Мій конкретний сценарій передбачає безпосередньо відображення координат WGS84 так, ніби вони були координатами на ідеальній сфері (із середнім радіусом, визначеним IUGG) без будь-якого перетворення.

Коротше кажучи, відстань може бути помилковою до приблизно 22 км або 0,3%, залежно від питань, про які йдеться. Це:

• Похибка може бути виражена декількома природними, корисними способами , такими як (i) (залишкова) помилка, рівна різниці між двома обчисленими відстанями (у кілометрах) та (ii) відносною помилкою, що дорівнює різниці, поділеній на "правильне" (еліпсоїдальне) значення. Для отримання чисел, зручних для роботи, я множу ці співвідношення на 1000, щоб виразити відносну похибку в частинах на тисячу .

• Помилки залежать від кінцевих точок. Завдяки обертальній симетрії еліпсоїда та сфери та їх двосторонньої (північ-південь та схід-захід) симетрії ми можемо розмістити одну з кінцевих точок десь уздовж меридіана (довгота 0) у північній півкулі (широта між 0 і 90 ) та інша кінцева точка у східній півкулі (довгота між 0 і 180).

Щоб вивчити ці залежності, я побудував помилки між кінцевими точками в (lat, lon) = (mu, 0) та (x, лямбда) як функція широти x між -90 та 90 градусів. (Усі точки номінально на висоті еліпсоїда нуля.) На малюнках рядки відповідають значенням мю при {0, 22,5, 45, 67,5} градусах і стовпці значенням лямбда при {0, 45, 90, 180} градусів. Це дає нам хороший огляд спектру можливостей. Як і очікувалося, їх максимальні розміри приблизно врівень (приблизно 1/300) у порівнянні з основною віссю (близько 6700 км), або приблизно 22 км.

Помилки

Відносні помилки

Контурний сюжет

Інший спосіб візуалізації помилок - це виправити одну кінцеву точку та дозволити іншій змінюватися, контурнувши виникаючі помилки. Ось, наприклад, контурний графік, де перша кінцева точка знаходиться на 45 градусах північної широти, 0 градусів довготи. Як і раніше, значення помилок знаходяться в кілометрах, а позитивні помилки означають, що сферичний розрахунок занадто великий:

Можливо, це буде простіше читати, обертаючись по всьому світу:

Червона крапка на півдні Франції показує розташування першої кінцевої точки.

Для запису ось код Mathematica 8, який використовується для обчислень:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

І одна з графіків команд:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Я нещодавно вивчив це питання. Я думаю, що люди хочуть знати

1. який сферичний радіус я повинен використовувати?
2. що внаслідок цього помилка?

Доцільною метрикою якості наближення є максимальна абсолютна похибка на відстані великого кола

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

при максимальному оцінюванні за всіма можливими парами балів.

Якщо сплющення f невелике, то сферичний радіус, який мінімізує помилку, дуже близький до (a + b) / 2, і результуюча помилка приблизно

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(оцінюється 10 ^ 6 випадковим чином обраних пар балів). Іноді пропонується використовувати (2 * a + b) / 3 як сферичний радіус. Це призводить до дещо більшої помилки, err = 5 * f / 3 = 0,56% (для WGS84).

Геодезика, довжина якої найбільш занижена за сферичним наближенням, лежить біля полюса, наприклад, (89,1,0) до (89,1,180). Геодезика, довжина якої найбільш завищена за сферичним наближенням, меридіональна поблизу екватора, наприклад, (-0,1,0) до (0,1,0).

ДОДАТОК : Ось ще один спосіб вирішити цю проблему.

Виберіть пари рівномірно розподілених точок на еліпсоїді. Виміряйте еліпсоїдальну відстань s та відстань на одиничній сфері t . Для будь-якої пари точок s / t дає еквівалентний сферичний радіус. Середня ця величина за всіма парами точок, і це дає середній еквівалентний кульовий радіус. Є питання про те, як саме слід робити середній показник. Однак усі варіанти я спробував

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

всі виходили за кілька метрів від рекомендованого середнього радіуса IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Таким чином, це значення мінімізує помилку RMS при обчисленні сферичної відстані. (Однак це призводить до дещо більшої максимальної відносної похибки порівняно з ( a + b ) / 2; див. Вище.) Враховуючи, що R ₁ , ймовірно, буде використовуватися для інших цілей (обчислення площі тощо), є вагомі причини дотримуйтесь цього вибору для обчислення відстані.

Суть :

• Для будь-яких систематичних робіт, де ви можете допустити помилку 1% у розрахунках відстані, використовуйте сферу радіуса R ₁ . Максимальна відносна похибка - 0,56%. Використовуйте це значення послідовно, коли ви наближаєте землю до сфери.
• Це вам потрібна додаткова точність, вирішити еліпсоїдальну геодезичну задачу.
• Для зворотного обчислення конвертів використовуйте R ₁ або 6400 км або 20000 / пі км або a . Це призводить до максимальної відносної помилки близько 1%.

ІНШИЙ ДОДАТОК : Ви можете вичавити трохи більше точності з великої відстані кола, використовуючи μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (випрямлювальну широту бідолахи) як широту в обчисленні великого кола. Це зменшує максимальну відносну похибку з 0,56% до 0,11% (використовуючи R ₁ як радіус сфери). (Не ясно, чи дійсно варто застосовувати такий підхід на відміну від обчислення еліпсоїдальної геодезичної відстані безпосередньо.)