Один з моїх колег працює з даними, які розповсюджуються на дві зони UTM. Більшість даних перебуває в одній зоні, а в одній зоні - кілька осіб. Він хотів би знати, яким би було спотворення району цих людей, що знаходились у головній зоні UTM.
Чи існує формула для обчислення спотворень ареалу, знаючи, наскільки далеко в іншій зоні UTM були особливості?
Відповіді:
UTM використовує поперечну проекцію Меркатора з коефіцієнтом масштабу 0,9996 на центральному меридіані. У Меркаторі коефіцієнт масштабу відстані - це секунда широти (одне джерело: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), звідки коефіцієнт масштабу площі - квадрат цього коефіцієнта масштабу (тому що він застосовується в у всіх напрямках, Меркатор є відповідним). Розуміючи широту як сферичну відстань до екватора і наближаючи еліпсоїд до сфери, ми можемо застосувати цю формулу до будь-якого аспекту проекції Меркатора. Таким чином:
Коефіцієнт шкали в 0,9996 разів перевищує секунду (кутової) відстані до центрального меридіана. Коефіцієнт масштабу площі - квадрат цієї величини.
Щоб знайти цю відстань, розглянемо сферичний трикутник, утворений шляхом просування по геодезиці від довільної точки в (lon, lat) = (лямбда, фі), прямо до центрального меридіана на довготі mu, вздовж цього меридіана до найближчого полюса, а потім назад вздовж лямбда-меридіана до початкової точки. Перший виток - прямий кут, а другий - кут лямбда-му. Кількість подорожей по останній порції становить 90-фі-градусів. Сферична Закон синусів застосовується до цього трикутника станів
гріх (лямбда-му) / гріх (відстань) = гріх (90 градусів) / гріх (90-фі)
з розчином
відстань = ArcSin (sin (лямбда-му) * cos (phi)).
Ця відстань задається як кут, що зручно для обчислення сеансу.
Приклад
Розглянемо зону 17 UTM, центральний меридіан на -183 + 17 * 6 = -81 градус. Нехай розташування навколишнього середовища буде на довготі -90 градусів, широті 50 градусів. Потім
Крок 1: Сферична відстань від (-90, 50) до -81 градусного меридіана дорівнює ArcSin (sin (9 градусів) * cos (50 градусів)) = 0,1007244 радіанів.
Крок 2: Спотворення площі дорівнює (0,9996 * сек (0,1007244 радіани)) ^ 2 = 1,009406.
(Числові розрахунки з еліпсоїдом GRS 80 дають значення як 1,009435, показуючи, що відповідь, яку ми обчислили, є занадто низькою на 0,3%: це той самий порядок величини, що і сплющення еліпсоїда, що вказує на помилку через сферичне наближення.)
Наближення
Щоб відчути, як змінюється область, ми можемо використати деякі тотожні ідентичності, щоб спростити загальний вираз і розширити його як ряд Тейлора в лямбда-му (зміщення між довготою точки і довготою центрального меридіана UTM). Це виходить
Коефіцієнт масштабу площі ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (лямбда-му) ^ 2).
Як і у всіх таких розширень, кут лямбда-му повинен вимірюватися в радіанах. Похибка менше 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (лямбда-мю) ^ 4, яка близька до квадрату різниці наближення до 1 - тобто квадрата значення після десяткової крапки .
У прикладі з phi = 50 градусів (з косинусом 0,642788) і лямбда-му = -9 градусів = -0,15708 радіанів, наближення дає 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Оглядаючи десяткову точку і проводивши квадрати, ми робимо висновок (навіть не знаючи правильного значення), що його похибка не може бути більшою (0,009387) ^ 2 = менше 0,0001 (а насправді помилка становить лише одну п'яту частину цього розміру).
З цього аналізу видно, що на великих широтах (де cos (phi) мало) похибки масштабу завжди будуть невеликими; а на нижчих широтах похибки масштабу площі будуть вести себе як квадрат різниці довжин.
Інструмент GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
дозволяє велике перекриття між зонами UTM (конкретно, дозволено перетворення в сусідню зону за умови, що результуюча східна зона знаходиться в межах [0 км, 1000 км]). GeoConvert також може повідомити про конвергенцію меридіану та масштаб, і, як зазначає Юбер, спотворення області є квадратом шкали.
Наприклад, ваша "основна" зона - 42, і вам дається бал
41N 755778 3503488
(Кандагарський університет), що знаходиться приблизно в 29 км на захід від зони 42. Щоб перетворити це на зону 42, використовуйте
відлуння 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Для визначення конвергенції меридіана та масштабу в зоні 42 додайте прапор -c
відлуння 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Отже, спотворення площі становить 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.