Обчислення центроїда сферичного багатокутника

Я хотів би загальний спосіб обчислити центроїди для багатокутників на кулі.

На даний момент найкращою посиланням в Інтернеті є:

Інструменти для графіки та фігур від Джеффа Дженнесса.

Описаний там метод пропонує запропонувати розкласти багатокутник на кілька сферичних трикутників та обчислити середнє значення центроїдів сферичного трикутника, зважене на площу сферичного трикутника.

Я знаю, що існує декілька способів визначення центроїда сферичного багатокутника, але я шукаю щось аналогічне наступним визначенням для точок і поліліній:

• Бали : середнє арифметичне декартових векторів, що представляють точки.
• Полілінії : середньозважене середнє значення декартових векторів, що представляють середні точки кожного відрізка, зважене на (сферичну) довжину кожного сегмента.

Здається розумним продовженням, щоб багатокутні центроїди визначалися як середньозважене серед трикутного розкладання, зважене за площею.

Моє запитання - чи працюватиме метод у наведеній вище посилання незалежно від використовуваного трикутника. Зокрема, він згадує розкладання на трикутники відносно довільної точки, навіть зовнішньої від багатокутника, так що деякі трикутники матимуть негативні ділянки, які сприяють негативній вазі.

Пов'язане: Як знайти центр геометрії об'єкта?

Він не працюватиме послідовно, навіть якщо виконувати всі тріангуляції відносно однієї фіксованої точки. Проблема полягає в тому, що сферичні та евклідові розрахунки змішуються, не враховуючи, що вони можуть означати.

Один із способів зробити це очевидним - розглянути досить крайній трикутник, наприклад, майже половину півсфери. Наприклад, починаючи з (lon, lat) = (-179, 0), бігайте по екватору до (0, 0), потім до північного полюса в (0, 90), а потім назад до початку в (- 179, 0). Це трикутник 90-179-90, що включає більшу частину північної половини західної півкулі. Проблема полягає в тому, що його кінцеві точки (показані білими крапками на рисунку) лежать практично в площині: одна знаходиться на полюсі, а дві інші майже на протилежних сторонах від неї. Таким чином, їх середнє значення, спроектоване назад у сферу (червона крапка), майже на полюсі - але це приблизно далеко від будь-якого розумного центру, як можна отримати:

Як інший приклад, давайте тріангулювати багатокутник, що представляє верхню півкулю щодо її центру, Північного полюса. Ми завжди будемо ділити Західну півкулю на дві рівні половини, кожна з яких має трикутник 90-90-90 (тим самим уникаючи будь-яких проблем з величезними трикутниками, що охоплюють півсферу). Однак Східна півкуля буде розділена на п ять півмісяць. Вершини lune k ( k = 1, 2, ..., n ) мають (lon, lat) координати

((k-1) * 180/n, 0),  (k * 180/n, 0),  (k * 180/n, 90).

На цьому малюнку показано встановлення для k = 8. Червоні точки - це окремі трикутники "центрів", обчислені відповідно до документа "Інструменти для графіки та фігур", стор. 65-67.

Роблячи обчислення, я знаходжу, що при k = 2 центр, зважений на площі, дійсно знаходиться на Північному полюсі (як це було б зазначено з міркувань симетрії), але по мірі збільшення n результат швидко переміщується в Західну півкулю і в межа, наближається до широти 89,556 градусів вздовж довготи -90 градусів. Це приблизно в 50 кілометрах на південь від самого Північного полюса.

Справді, похибка +/- 50 кілометрів для багатокутника, що охоплює 20000 кілометрів, мала; загальна кількість довільної зміни внаслідок різних тріангуляцій у цьому випадку становить лише 0,5%. Очевидно, що відносні помилки можна зробити довільно великими, включивши негативні трикутники (просто додайте і віднімайте кілька дійсно великих трикутників відносно малого трикутника). Незалежно від того, хто, хто намагається зробити сферичні обчислення, очевидно, намагається уникати помилок проекції, тому шукає високої точності. Цей метод тріангуляції неможливо рекомендувати.

Це гарна ідея перерахувати властивості, якими повинен володіти центроїд багатокутника. Ось мої критерії:

(а) Це властивість внутрішнього полігона (замість вершин або ребер). Таким чином, розділення краю надвоє, вставляючи додаткову вершину, не повинно змінювати положення центроїда. Зауважимо, що визначення Дженнесса від центру не відповідає цьому критерію, оскільки положення центроїда буде залежати від того, як поділяється багатокутник на трикутники.

(b) Трохи збурюючи форму багатокутника, слід трохи перемістити центроїд. Тут потрібно накласти обмеження на загальну протяжність багатокутника (наприклад, на єдину півкулю). Без цього обмеження легко побудувати випадки, коли центроїд раптово поворотить на протилежну сторону землі легким рухом вершини. Цей стан виключає методи, які вимагають, щоб центроїд лежав всередині полігону.

(c) Це повинно зводитися до планарного визначення центроїда для малих багатокутників.

Ось два підходи, які відповідають цим критеріям:

(1) Обчисліть центроїд для еліпсоїдального многокутника в трьох вимірах і направляйте назад на поверхню еліпсоїда (уздовж нормалі до еліпсоїда). Велика перевага: центроїд можна обчислити, розбивши багатокутник на простіші форми.

(2) Центроїд - точка з мінімальною геодезичною відстані RMS до всіх точок у внутрішній частині багатокутника. Див. Buss і Fillmore, "Сферичні середні значення та додатки до сферичних сплайнів та інтерполяція", транзакції ACM на графіці 20 , 95–126 (2001). Велика перевага: отримана точка не залежить від того, як поверхня вбудована в R ³ .

На жаль, жодне з цих визначень неможливо просто застосувати на практиці. Однак перший метод можна здійснити просто для сфери. Найкраща "елементарна" область для використання - чотирикутник, обмежений краєм багатокутника, двома меридіанами через кінцеві точки ребра та екватором. Результат для всього багатокутника тягне за собою підсумовування внесків по краях. (Необхідні додаткові кроки, якщо багатокутник оточує полюс.)

Припустимо, кінцевими точками ребра є (φ ₁ , λ ₁ ) і (φ ₂ , λ ₂ ). Нехай азимути ребра і кінцевих точок будуть віднесені по α ₁ і α ₂ . Якщо припустити радіус сфери дорівнює 1, площа чотирикутника дорівнює

  A = α ₂ - α ₁
      = 2 tan ⁻¹ [tan ½ (λ ₂ - λ ₁ ) sin ½ (φ ₂ + φ ₁ ) / cos ½ (φ ₂ + φ ₁ )]

(Ця формула області, завдяки Бесселю, значно краще поводиться чисельно, ніж загальновживана формула L'Huilier про область трикутника.)

Компоненти центроїда для цього чотирикутника задані

  2 ⟨ х ⟩ = φ ₂ Sin (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ Sin (λ ₁ - λ ₀ )   2 ⟨ у ⟩ = сов α ₀ (σ ₂ - σ ₁ ) - (φ ₂ сов (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ сов (λ ₁ - λ ₀ ))   2 ⟨ г ⟩ = (λ ₂ - λ ₁ ) - SIN α ₀ (σ ₂ - σ

₁ )

де σ ₂ - σ ₁ - довжина ребра, а λ ₀ і α ₀ - довгота і азимут краю, де він перетинає екватор, а осі x і y орієнтовані так, що перетинання екватора знаходиться на x = 1, у = 0. ( z, звичайно, вісь через полюс)