Обчислення перетину двох кіл?

Я намагаюся розібратися, як математично вивести спільні точки двох пересічних кіл на земній поверхні, задавши центр Lat / Lon і радіус для кожної точки.

Наприклад, наведено:

• Ширина / Дов. (37,673442, -90,234036) Радіус 107,5 Нм
• Lat / Lon (36.109997, -90.953669) Радіус 145 Нм

Мені слід знайти дві точки перетину, одна з яких є (36.948, -088.158).

Це було б тривіально легко вирішити на плоскій площині, але я не маю досвіду вирішення рівнянь на недосконалій сфері, такій як земна поверхня.

На кулі це не набагато складніше, ніж на площині, коли ти це визнаєш

1. Питання, про які йдеться, - це взаємні перетини трьох сфер: сфери, центрованої під розташуванням x1 (на земній поверхні) заданого радіуса, сфери, центрованої під розташуванням x2 (на земній поверхні) заданого радіуса, і самої землі , яка є сферою, центрованою в O = (0,0,0) заданого радіуса.

2. Перетин кожної з перших двох сфер із земною поверхнею - це коло, яке визначає дві площини. Тому взаємні перетини всіх трьох сфер лежать на перетині цих двох площин: прямої .

Отже, проблема зводиться до перетину лінії зі сферою, що легко.

Ось деталі. Вхідні дані - точки P1 = (lat1, lon1) і P2 = (lat2, lon2) на земній поверхні, що розглядаються як сфера, і два відповідні радіуси r1 і r2.

1. Перетворити (лат, lon) в (x, y, z) геоцентричні координати. Як завжди, тому що ми можемо вибрати одиниці вимірювання, у яких Земля має одиничний радіус,

   x = cos(lon) cos(lat)
   y = sin(lon) cos(lat)
   z = sin(lat).
   

   У прикладі P1 = (-90.234036 градусів, 37.673442 градусів) має геоцентричні координати x1 = (-0.00323306, -0.7915, 0.61116), а P2 = (-90.953669 ступінь, 36.109997 градусів) має геоцентричні координати x2 = (-0.0134464, -0.8080) , 0,589337).

2. Перетворіть радіуси r1 і r2 (які вимірюються вздовж сфери) в кути вздовж сфери. За визначенням, одна морська миля (НМ) - це 1/60 градусного рівня дуги (що становить pi / 180 * 1/60 = 0,0002908888 радіанів). Тому, як кути,

   r1 = 107.5 / 60 Degree = 0.0312705 radian
   r2 = 145 / 60 Degree = 0.0421788 radian
   

3. Геодезичний коло радіуса r1 навколо x1 є перетином поверхні Землі з евклідової сфери радіуса гріха (r1) з центром в Cos (r1) * x1.

4. Площина, що визначається перетином сфери радіуса sin (r1) навколо cos (r1) * x1, а земна поверхня перпендикулярна x1 і проходить через точку cos (r1) x1, звідки її рівняння x.x1 = cos (r1) ("." являє собою звичайний крапковий продукт ); аналогічно для іншої площини. На перетині цих двох площин буде унікальна точка x0, що є лінійною комбінацією x1 і x2. Записуючи x0 = a x1 + b * x2 два плоских рівняння

   cos(r1) = x.x1 = (a*x1 + b*x2).x1 = a + b*(x2.x1)
   cos(r2) = x.x2 = (a*x1 + b*x2).x2 = a*(x1.x2) + b
   

   Використовуючи той факт, що x2.x1 = x1.x2, який я запишу як q, рішення (якщо воно існує) задається

   a = (cos(r1) - cos(r2)*q) / (1 - q^2),
   b = (cos(r2) - cos(r1)*q) / (1 - q^2).
   

   У прикладі запуску я обчислюю a = 0,973503 і b = 0,0260194.

   Очевидно, що нам потрібно q ^ 2! = 1. Це означає, що x1 і x2 не можуть бути ні однаковою, ні антиподальною.

5. Тепер усі інші точки на лінії перетину двох площин відрізняються від x0 деяким кратним вектора n, який взаємно перпендикулярний обом площинам. Хрестовий виріб

   n = x1~Cross~x2
   

   чи задана робота n є ненульовою: ще раз це означає, що x1 і x2 не є ні збігом, ні діаметрально протилежними. (Нам потрібно подбати про обчислення поперечного добутку з високою точністю, оскільки воно включає віднімання з великою кількістю скасування, коли х1 і х2 близькі один до одного.) У прикладі n = (0,0272194, -0,00631254, -0,00803124) .

6. Тому ми шукаємо до двох точок вигляду x0 + t * n, які лежать на земній поверхні: тобто їх довжина дорівнює 1. Еквівалентно, що їх довжина в квадраті дорівнює 1:

   1 = squared length = (x0 + t*n).(x0 + t*n) = x0.x0 + 2t*x0.n + t^2*n.n = x0.x0 + t^2*n.n
   

   Термін з x0.n зникає, оскільки x0 (будучи лінійною комбінацією x1 і x2) перпендикулярно n. Два рішення легко

   t = sqrt((1 - x0.x0)/n.n)
   

   і його негативний. Ще раз вимагається висока точність, тому що, коли x1 і x2 близькі, x0.x0 дуже близький до 1, що призводить до деякої втрати точності з плаваючою точкою. У прикладі t = 1,07509 або t = -1,07509. Тому дві точки перетину рівні

   x0 + t*n = (0.0257661, -0.798332, 0.601666)
   x0 - t*n = (-0.0327606, -0.784759, 0.618935)
   

7. Нарешті, ми можемо перетворити ці рішення назад у (lat, lon), перетворивши геоцентричні (x, y, z) в географічні координати:

   lon = ArcTan(x,y)
   lat = ArcTan(Sqrt[x^2+y^2], z)
   

   Для довготи використовуйте узагальнені значення повернення арктангенту в діапазоні від -180 до 180 градусів (при обчислювальних програмах ця функція приймає як аргументи x, так і y, а не просто співвідношення y / x; її іноді називають "ATan2").

   Я отримую два рішення (-88.151426, 36.989311) та (-92.390485, 38.238380), зображені на рисунку у вигляді жовтих крапок.

На осях відображаються геоцентричні координати (x, y, z). Сірий наліт - це частина земної поверхні від -95 до -87 градусів довготи, широта від 33 до 40 градусів (відмічена в один градус решіткою). Земна поверхня була зроблена частково прозорою для показу всіх трьох сфер. Правильність обчислених рішень очевидна тим, як жовті точки сидять на перетинах сфер.

Еліпсоїдальної випадок:

Ця проблема є узагальненням пошуку морських кордонів, визначених як "серединні лінії", і є велика література з цієї теми. Моє рішення цієї проблеми полягає в використанні рівновіддаленої азимутальної проекції:

1. Вгадайте у точці перетину
2. Проектуйте дві базові точки, використовуючи цю здогадану точку перетину як центр рівновідставної азимутальної проекції,
3. Розв’яжіть задачу перетину в проектованому просторі 2d.
4. Якщо нова точка перетину занадто далека від старої, поверніться до кроку 2.

Цей алгоритм сходить квадратично і дає точне рішення на еліпсоїді. (Точність необхідна у випадку морських кордонів, оскільки вона визначає права риболовлі, нафти та корисних копалин.)

Формули наведені у розділі 14 геодезики про еліпсоїд обертання . Еліпсоїдальна рівновідставна азимутальна проекція забезпечується GeographicLib . Версія MATLAB доступна в геодезичних проекціях для еліпсоїда .

Ось декілька код R для цього:

p1 <- cbind(-90.234036, 37.673442) 
p2 <- cbind(-90.953669, 36.109997 )

library(geosphere)
steps <- seq(0, 360, 0.1)
c1 <- destPoint(p1, steps, 107.5 * 1852)
c2 <- destPoint(p2, steps, 145 * 1852)

library(raster)
s1 <- spLines(c1)
s2 <- spLines(c2)

i <- intersect(s1, s2)
coordinates(i)

#        x        y
# -92.38241 38.24267
# -88.15830 36.98740

s <- bind(s1, s2)
crs(s) <- "+proj=longlat +datum=WGS84"
plot(s)
points(i, col='red', pch=20, cex=2)

Виходячи з відповіді @ whuber , ось код Java, який корисний з двох причин:

• він підкреслює діточку щодо ArcTan (для Java, а може й інших мов?)
• він обробляє можливі крайові випадки, включаючи той, який не згадується у відповіді @ whuber.

Це не оптимізоване чи повне (я вийшов із очевидних класів на кшталт Point), але повинен робити свою справу.

public static List<Point> intersection(EarthSurfaceCircle c1, EarthSurfaceCircle c2) {

    List<Point> intersections = new ArrayList<Point>();

    // project to (x,y,z) with unit radius
    UnitVector x1 = UnitVector.toPlanar(c1.lat, c1.lon);
    UnitVector x2 = UnitVector.toPlanar(c2.lat, c2.lon);

    // convert radii to radians:
    double r1 = c1.radius / RadiusEarth;
    double r2 = c2.radius / RadiusEarth;

    // compute the unique point x0
    double q = UnitVector.dot(x1, x2);
    double q2 = q * q;
    if (q2 == 1) {
        // no solution: circle centers are either the same or antipodal
        return intersections;
    }
    double a = (Math.cos(r1) - q * Math.cos(r2)) / (1 - q2);
    double b = (Math.cos(r2) - q * Math.cos(r1)) / (1 - q2);
    UnitVector x0 = UnitVector.add(UnitVector.scale(x1, a), UnitVector.scale(x2, b));

    // we only have a solution if x0 is within the sphere - if not,
    // the circles are not touching.
    double x02 = UnitVector.dot(x0, x0);
    if (x02 > 1) {
        // no solution: circles not touching
        return intersections;
    }

    // get the normal vector:
    UnitVector n = UnitVector.cross(x1, x2);
    double n2 = UnitVector.dot(n, n);
    if (n2 == 0) {
        // no solution: circle centers are either the same or antipodal
        return intersections;
    }

    // find intersections:
    double t = Math.sqrt((1 - UnitVector.dot(x0, x0)) / n2);
    intersections.add(UnitVector.toPolar(UnitVector.add(x0, UnitVector.scale(n, t))));
    if (t > 0) {
        // there's only multiple solutions if t > 0
        intersections.add(UnitVector.toPolar(UnitVector.add(x0, UnitVector.scale(n, -t))));
    }
    return intersections;
}

Також важливо звернути увагу на використання atan2- це зворотній бік того, що ви очікували від відповіді @ whuber (не знаю чому, але це працює):

    public static Point toPolar(UnitVector a) {
        return new Point(
                Math.toDegrees(Math.atan2(a.z, Math.sqrt(a.x * a.x + a.y * a.y))),
                Math.toDegrees(Math.atan2(a.y, a.x)));          
    }

Робочий код "R" для відповіді @wuhber.

P1 <- c(37.673442, -90.234036)
P2 <- c(36.109997, -90.953669) 

#1 NM nautical-mile is 1852 meters
R1 <- 107.5
R2 <- 145

x1 <- c(
  cos(deg2rad(P1[2])) * cos(deg2rad(P1[1])),  
  sin(deg2rad(P1[2])) * cos(deg2rad(P1[1])),
  sin(deg2rad(P1[1]))
);

x2 <- c(
  cos(deg2rad(P2[2])) * cos(deg2rad(P2[1])),
  sin(deg2rad(P2[2])) * cos(deg2rad(P2[1])),
  sin(deg2rad(P2[1]))
);

r1 = R1 * (pi/180) * (1/60)
r2 = R2 * (pi/180) * (1/60)

q = dot(x1,x2)
a = (cos(r1) - cos(r2) * q) / (1 - q^2)
b = (cos(r2) - cos(r1) * q)/ (1 - q^2)

n <- cross(x1,x2)

x0 = a*x1 + b*x2


t = sqrt((1 - dot(x0, x0))/dot(n,n))

point1 = x0 + (t * n)
point2 = x0 - (t * n)

lat1 = rad2deg(atan2(point1[2] ,point1[1]))
lon1= rad2deg(asin(point1[3]))
paste(lat1, lon1, sep=",")

lat2 = rad2deg(atan2(point2[2] ,point2[1]))
lon2 = rad2deg(asin(point2[3]))
paste(lat2, lon2, sep=",")

Якщо одним з кола є Nortstar, то існує найпростіший спосіб з одиничною сферою.

Ви можете виміряти свою широту за допомогою Nortstar. Тоді у вас є відносна позиція щодо цієї сфери. v1 (0, sin (la), cos (la)) Ви знаєте положення (кут) іншої зірки (star2), з альманаху. v2 (sin (lo2) * cos (la2), sin (la2), cos (lo2) * cos (la2)) Його вектори. З рівняння сфери.

lo2 - відносна довгота. Її невідомо .

Кут між вами та зіркою2 ви також можете виміряти, (м) І знаєте, внутрішнєвиробництво двох одиничних векторів - це cos (кут) між. cos (m) = крапка (v1, v2) u може тепер обчислити відносну довготу (lo2). lo2 = acos ((cos (m) -sin (la) * sin (la2)) / (cos (la) * cos (la2)))

Адже ви додасте справжню довготу зірки2 до lo2. (або суб, залежати від західного боку від вас або сходу.) lo2 тепер ваша довгота.

Вибачте за мою англійську, я ніколи не вивчаю цю мову.

2 речі: Північна зірка середньої полюсної зірки.

Ще одна. Оскільки кут, виміряний до горизонту відносно, завжди потребує корекції на 90 кут. Її також до m кут.

ps: середнє значення кута: положення зірки - корекція часу.