Це результат відображення прямолінійного шляху від точки США до Польщі за допомогою інструменту вимірювання відстані .
Також літаки з Азії до США проїхали б майже над Північним полюсом.
Чому шлях так вигнутий? Я погоджуюсь, що це плоське зображення сфери, тому я очікую дуги, але я не думаю, що Земля має таку кривизну.
Що я тут пропускаю?
Відповіді:
Подивіться лише на стежку на кулі. Ось це в Google Планета Земля:
Шлях на вашій карті сильно вигнутий, оскільки карта використовує проекцію з великою кількістю спотворень. (Викривлення зростає без прив’язки до полюсів, і ця стежка наближається до північного полюса.)
Спотворення необхідне для пояснення кривизни цієї геодезичної карти на карті, але зв'язок між ними тонкий. Більше можна сказати, що одразу корисно, інформативно та елегантно. Подивіться, чи згодні ви.
На карті ОП використовується проекція Меркатора. Його яскраві якості полягають у тому, що воно є
Циліндричні : зокрема, меридіани - це вертикальні лінії на карті,
Конформальний : будь-який кут, під яким два шляху перетинаються на землі, буде правильно відображений на карті, та
Локсодромний : будь-який маршрут постійної опори (на землі) відображається як відрізок прямої лінії на карті.
Ці властивості дозволяють легко читати критичну інформацію безпосередньо з карти. У цьому контексті мене найбільше цікавлять кути, зроблені будь-яким шляхом з кожним із меридіанів, які він перетинає. (Це підшипники, виміряні з півночі.) Наприклад, шлях, зображений у запитанні, починається в Канаді, приблизно 54 градуси широти, роблячи кут приблизно 30 градусів з його меридіаном.
Те, що ми також повинні знати про точку на широті 54 градусів, це те, що вона ближче до осі Землі, ніж точки вздовж екватора. Насправді це cos (54) * R від осі, де R - радіус Землі. (Це, по суті, визначення косинусу. Це допомагає ознайомитися з косинусами, тому ви розумієте, як вони поводяться, але вам взагалі не потрібно знати будь-яку іншу тригонометрію. Обіцяю. Ну, і ще одна річ: синус кута косинус його доповнення. Наприклад, Sin (32 градуси) = COS (90-32) = сови (58).)
Нарешті, зауважте, що Земля обертально симетрична щодо своєї осі. Це дозволяє нам покликатись на красуню Клер
Теорема (1743): На шляху в будь-якій гладкій поверхні обертання добуток відстані до осі з синусом підшипника є постійним, якщо і лише тоді, коли шлях локально геодезичний.
Таким чином, оскільки ми починаємо з широти 54 градуси під кутом 30 градусів, добуток у теоремі дорівнює cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Як це допомагає? Ну, подумайте, що було б, якби шлях продовжувався приблизно прямо на карті . Рано чи пізно воно підніметься до широти 73 градуси. Використовуючи теорему Клеро, ми можемо вирішити для опори на цій широті:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.
Це говорить про те , що до досягнення широти в 73 градуси ми повинні подорожувати через схід ! Тобто шлях, щоб бути геодезичним, повинен прогинатися настільки сильно, що початкова опора в 30 градусів (на схід від півночі) стає на 90 градусів (на схід від півночі).
(Звичайно, я знайшов значення 73 градуси, вирішивши рівняння cos (широта) = cos (широта) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Щоб зробити це самостійно, ви повинні знати, що (a ) sin (90) = 1 (тому що sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) і (b) більшість калькуляторів і електронних таблиць мають функцію розв’язання косинусів; вона називається ArcCos або зворотний косинус. Сподіваюсь, ви не розглядаєте цю маленьку деталь як прорив моєї попередньої обіцянки про не більше тригги ...)
Зробивши кілька подібних обчислень, ви розвиваєте інтуїцію того, що говорить теорема Клараута. Шлях у поверхні обертання (як земля) може бути геодезичним (локально найкоротшим або "прямим") лише тоді, коли (a) його опора стає більш паралельною меридіанам у точках, далеких від осі, і (b) його опора стає більше перпендикулярно меридіанам у точках, ближчих до осі. Оскільки існує обмеження на те, наскільки перпендикулярний ви можете дістатись - це 90 градусів! Це постійне регулювання підшипника (= кут до меридіана) та широти (= відстань до осі) викликає очевидну кривизну геодезики на більшості карт, особливо на тих, що використовують циліндричні проекції, де меридіани та лінії широти подаються відповідно як вертикальні, так і горизонтальні лінії.
Ось кілька простих наслідків теореми Клер. Подивіться, чи можете ви їх довести:
Екватор повинен бути геодезичним.
Всі меридіани є геодезичними.
Жодна лінія широти, крім екватора (і полюсів, якщо ви хочете включити їх), не може бути геодезичною. Навіть невелика частина широти лінії може бути геодезичною.
Локсодроми (ака-рими), які є лініями постійного опору, не можуть бути геодезичними, якщо вони не є меридіанами або екватором. Навіть незначна частина такого локсодрому може бути геодезичною. Іншими словами, якщо ви плаваєте чи летите в фіксованому напрямку компаса, то - за кількома очевидними винятками - ваш шлях постійно кривий!
У пункті 4 сказано, що якщо ви летите з канадських Скелястих гір при початковій опорі 30 градусів на схід від півночі, ви повинні з'явитися, щодо півночі, щоб постійно повертати (праворуч), щоб літати прямо; ви ніколи не підете на північ від 73 градусів широти; і якщо ви будете продовжувати досить далеко, ви доїдете до Польщі, і, коли потрапите туди, ви відправитесь приблизно за 150 градусів на схід від півночі. Звичайно, деталі - 73 градуси та Польща та 150 градусів - отримані лише з кількісного твердження Теореми Клер: ти звичайно не можеш зрозуміти такого роду, просто використовуючи інтуїтивне уявлення про геодезику.
Примітно, що всі ці результати стосуються загального сфероїда (поверхня обертання, породжена еліпсом), а не лише ідеальні сфери. З невеликими модифікаціями вони тримаються за торі (поверхні бубликів або вантажних шин) та багато інших цікавих поверхонь. (Автор наукової фантастики Ларрі Нівен написав роман, в якому представлений невеликий штучний світ у формі тору. Посилання містить зображення із обкладинки роману, що зображує частину цього світу.)
У цій проекції (Google Mercator) саме так виглядає велика дуга кола між цими двома місцями.
Просто швидке доповнення:
Також літаки з Азії до США проїхали б майже над Північним полюсом.
У цьому напрямку вони часто будуть використовувати струменевий потік. В іншому напрямку вони дійсно пролетять / наблизяться до полюсів.
Проекція Меркатора спотворюється на полюсах http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
детальніше Покажчик Тіссота
Так крутизна гостріша на останніх полюсах
Я побачив дуже витончене пояснення цього явища на блозі Тома MacWright в тут , з фотографіями апельсинів. Пояснення до 5-річної версії: "На земній кулі найкоротші шляхи рівні, а навігаційні лінії - криві. Меркатор склав карту, де навігаційні лінії прямі. Це зробило найкоротші шляхи кривими".
Це пов'язано з проекцією 2D площини на поверхню поляризованої 2 сфери, коли лінія проходить повз полюсів, вона спотворюється, що стосується спостерігачів 2D площини, тому що пряма лінія до місця призначення виявляється вигнутою. ковчег Великого кола - термін у математиці, який відноситься до найбільшого кола, яке можна відрізати від сфери, доки коло проходить через центр сфери. Я трохи змінив зображення, надані в інших відповідях, прокресливши рядок, щоб проілюструвати (досить погано, боюся, я новачок у GIMP) так зване полярне спотворення. Я думаю, що якась подібна концепція стоїть за гравітаційними силами, але я не фізик, тому я не міг сказати.
Чим ближче до поляків стає точка, тим менш деформована вона виявляється, коли вона виведена на плоску 2D поверхню, хоча вона все ще є в невеликій кількості. Це також залежить від використовуваного методу проекції, і є деякі, орієнтовані на те, щоб якнайшвидший маршрут між двома точками виглядав рівним, а потім повертався назад на повний сферичний вигляд.