Чи журнал (n!) = Θ (n · log (n))?

Я повинен показати той журнал ( n !) = Θ ( n · log ( n )) .

Був наданий натяк, що я повинен показати верхню межу з n ^n, а нижню межу з ( n / 2) ^{( n / 2)} . Це здається мені не таким інтуїтивним. Чому це було б так? Я точно можу бачити, як перетворити n ⁿ в n · log ( n ) (тобто записувати обидві сторони рівняння), але це працює на зворотному рівні.

Який би був правильний підхід до вирішення цієї проблеми? Чи слід намалювати дерево рекурсії? У цьому немає нічого рекурсивного, тому це не здається ймовірним підходом ..

Пам'ятайте, що

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

Ви можете отримати верхню межу

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

І ви можете отримати нижню межу, зробивши подібну річ після викидання першої половини суми:

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 

Я усвідомлюю, що це дуже старе питання з прийнятою відповіддю, але жодна з цих відповідей насправді не використовує підхід, запропонований підказкою.

Це досить простий аргумент:

n!(= 1 * 2 * 3 * ... * n) - це добуток nчисел, кожне з яких менше або дорівнює n. Тому вона менша за добуток nчисел, всі рівні n; тобто n^n.

Половина цифр - тобто n/2їх - у n!продукті більше або дорівнює n/2. Тому їх добуток більший за добуток n/2чисел, рівних всім n/2; тобто (n/2)^(n/2).

Ведіть журнали протягом усього часу, щоб встановити результат.

Вибачте, я не знаю, як використовувати синтаксис LaTeX для stackoverflow ..

Див . Наближення Стірлінга :

ln (n!) = n * ln (n) - n + O (ln (n))

де останні 2 терміни менш значущі, ніж перший.

Для нижньої межі

lg(n!) = lg(n)+lg(n-1)+...+lg(n/2)+...+lg2+lg1
       >= lg(n/2)+lg(n/2)+...+lg(n/2)+ ((n-1)/2) lg 2 (leave last term lg1(=0); replace first n/2 terms as lg(n/2); replace last (n-1)/2 terms as lg2 which will make cancellation easier later)
       = n/2 lg(n/2) + (n/2) lg 2 - 1/2 lg 2
       = n/2 lg n - (n/2)(lg 2) + n/2 - 1/2
       = n/2 lg n - 1/2

lg (n!)> = (1/2) (n lg n - 1)

Поєднання обох меж:

1/2 (n lg n - 1) <= lg (n!) <= N lg n

Вибравши константу нижньої межі більше (1/2), ми можемо компенсувати -1 всередині дужки.

Таким чином, lg (n!) = Theta (n lg n)

Допомагаючи вам далі, де вас залишив Мік Шарп:

Це виведення досить просто: див. Http://en.wikipedia.org/wiki/ Логаритм -> Теорія групи

log (n!) = log (n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1) = log (n) + log (n-1) + ... + log (2 ) + журнал (1)

Подумайте про російську як нескінченно велику . Що таке нескінченний мінус один? або мінус два? тощо.

log (inf) + log (inf) + log (inf) + ... = inf * log (inf)

А потім подумайте про інф як про п.

Дякую, я знайшов ваші відповіді переконливими, але в моєму випадку я повинен використовувати Θ властивості:

log(n!) = Θ(n·log n) =>  log(n!) = O(n log n) and log(n!) = Ω(n log n)

Щоб підтвердити проблему, я знайшов цю веб-сторінку, де ви пояснили весь процес: http://www.mcs.sdsmt.edu/ecorwin/cs372/handouts/theta_n_factorial.htm

Це може допомогти:

e ln (x) = x

і

(l m ) n = l m * n

http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation Наближення Стірлінга може вам допомогти. Це дійсно корисно для вирішення проблем на фабриках, пов'язаних з величезною кількістю порядку 10 ^ 10 і вище.