Чи 2 ^ n і n * 2 ^ n однакові за складністю?

Ресурси, які я знайшов за часовою складністю, незрозуміло, коли добре ігнорувати терміни в рівнянні часової складності, зокрема з неполіноміальними прикладами.

Мені зрозуміло, що з урахуванням чогось виду n ² + n + 1, останні два терміни незначні.

Зокрема, з урахуванням двох категоризацій, 2 ⁿ та n * (2 ⁿ ), чи є другий у тому ж порядку, що й перший? Чи має значення додаткове п множення? Зазвичай ресурси просто кажуть, що x ⁿ знаходиться в експоненції і росте набагато швидше ... потім рухайтеся далі.

Я можу зрозуміти, чому б це не сталося, оскільки 2 ⁿ сильно перевершить n, а оскільки їх не додавати разом, це було б дуже важливо при порівнянні двох рівнянь, адже різниця між ними завжди буде фактором n, що, як мінімум, важливо сказати.

Вам потрібно буде перейти до формального визначення великого O ( O), щоб відповісти на це питання.

Визначення є тим, що f(x)належить O(g(x))тоді і тільки тоді, коли межа існує, тобто не є нескінченністю. Коротше кажучи, це означає, що існує константа , така величина якої ніколи не перевищує .limsupx → ∞ (f(x)/g(x))Mf(x)/g(x)M

У випадку вашого питання хай і нехай . Тоді те , що все ще зростатиме нескінченно. Тому не належить .f(n) = n ⋅ 2ng(n) = 2nf(n)/g(n)nf(n)O(g(n))

Швидкий спосіб зрозуміти, що n⋅2ⁿбільше - це змінити змінну. Нехай m = 2ⁿ. Тоді n⋅2ⁿ = ( log₂m )⋅m(беручи логарифм основи-2 з обох сторін m = 2ⁿдає n = log₂m), і ви зможете легко показати, що m log₂mросте швидше, ніж m.

Я погоджуюсь, що n⋅2ⁿце не так O(2ⁿ), але я вважав, що це повинно бути більш чітким, оскільки обмеження вищого використання не завжди виконується.

За формальним визначенням Big-O: f(n)це в тому O(g(n))випадку, якщо існують постійні c > 0і n₀ ≥ 0такі, що для всіх у n ≥ n₀нас є f(n) ≤ c⋅g(n). Неважко довести, що для f(n) = n⋅2ⁿта для таких констант не існує g(n) = 2ⁿ. Однак можна показати, що g(n)в O(f(n)).

Іншими словами, n⋅2ⁿнижня межа обмежена 2ⁿ. Це інтуїтивно зрозуміло. Хоча вони і експоненціальні, і тому однаково малоймовірні для використання в більшості практичних обставин, ми не можемо сказати, що вони в одному порядку, оскільки 2ⁿобов'язково росте повільніше, ніж n⋅2ⁿ.

Я не сперечаюся з іншими відповідями, які говорять про те, що n⋅2ⁿросте швидше, ніж 2ⁿ. Але n⋅2ⁿріст все ще лише експоненційний.

Коли ми говоримо про алгоритми, ми часто кажемо, що складність у часі зростає експоненціально. Таким чином, ми вважаємо 2ⁿ, 3ⁿ, eⁿ, 2.000001ⁿ, або наш n⋅2ⁿв такій самій групі складності з експоненціальним зростає.

Щоб надати йому трохи математичного сенсу, ми вважаємо, що функція f(x)зростає (не швидше) експоненціально, якщо існує така константа c > 1, що .f(x) = O(cx)

Для n⋅2ⁿпостійної cможе бути будь-яке число більше, ніж 2візьмемо 3. Тоді:

n⋅2ⁿ / 3ⁿ = n ⋅ (2/3)ⁿі це менше, ніж 1для будь-якого n.

Так 2ⁿросте повільніше n⋅2ⁿ, а останній у свою чергу росте повільніше, ніж 2.000001ⁿ. Але всі троє ростуть експоненціально.

Ви запитали "чи є другий у тому ж порядку, що і перший? Чи має значення додаткове п множення?" Це два різні питання з двома різними відповідями.

n 2 ^ n росте асимптотично швидше, ніж 2 ^ n. Ось на це питання відповів.

Але ви можете запитати "якщо алгоритм A займає 2 ^ n наносекунд, а алгоритм B займає n 2 ^ n наносекунд, що є найбільшим n, де я можу знайти рішення за секунду / хвилину / годину / день / місяць / рік?" відповіді n = 29/35/41/46/51/54 проти 25/30/36/40/45/49. На практиці немає великої різниці.

Розмір найбільшої проблеми, яку можна вирішити за час T, становить O (ln T) в обох випадках.