Я докладу всіх зусиль, щоб пояснити це простими словами, але попередити, що ця тема потребує моїх учнів через кілька місяців, щоб нарешті зрозуміти. Додаткову інформацію можна знайти у розділі 2 Структури даних та алгоритми у книзі Java .
Не існує механічної процедури, яка може бути використана для отримання BigOh.
Як "кулінарна книга", щоб отримати BigOh з фрагмента коду, вам спочатку потрібно усвідомити, що ви створюєте математичну формулу, щоб підрахувати, скільки кроків обчислень виконується за допомогою вводу певного розміру.
Мета проста: порівняти алгоритми з теоретичної точки зору, без необхідності виконувати код. Чим менша кількість кроків, тим швидший алгоритм.
Наприклад, скажімо, у вас є цей фрагмент коду:
int sum(int* data, int N) {
int result = 0; // 1
for (int i = 0; i < N; i++) { // 2
result += data[i]; // 3
}
return result; // 4
}
Ця функція повертає суму всіх елементів масиву, і ми хочемо створити формулу для підрахунку обчислювальної складності цієї функції:
Number_Of_Steps = f(N)
Отже, у нас є f(N)функція підрахунку кількості обчислювальних кроків. Вхід функції - це розмір структури, що обробляється. Це означає, що ця функція називається такою:
Number_Of_Steps = f(data.length)
Параметр Nприймає data.lengthзначення. Тепер нам потрібно власне визначення функції f(). Це робиться з вихідного коду, в якому кожен цікавий рядок нумерується від 1 до 4.
Існує багато способів розрахунку BigOh. З цього моменту ми будемо вважати, що кожне речення, яке не залежить від розміру вхідних даних, виконує постійні Cчисло обчислювальних кроків.
Ми збираємося додати індивідуальну кількість кроків функції, і ні локальне оголошення змінної, ні повернення не залежить від розміру dataмасиву.
Це означає, що рядки 1 і 4 виконують кількість кроків у C, а функція приблизно така:
f(N) = C + ??? + C
Наступна частина полягає у визначенні значення forвисловлювання. Пам'ятайте, що ми підраховуємо кількість обчислювальних кроків, тобто тіло forоператора виконує Nчас. Це те саме, що додавати C, Nрази:
f(N) = C + (C + C + ... + C) + C = C + N * C + C
Не існує механічного правила підрахунку, скільки разів forвиконується тіло виконання, вам потрібно порахувати, дивлячись, що робить код. Для спрощення обчислень ми ігноруємо змінну ініціалізацію, стан та приріст частин forоператора.
Для отримання фактичного BigOh нам потрібен асимптотичний аналіз функції. Це приблизно зроблено так:
- Забирайте всі константи
C.
- З
f()отримайте поліном у своєму standard form.
- Розділіть члени полінома і відсортуйте їх за темпами зростання.
- Тримайте той, який стає більшим при
Nпідході infinity.
У нас f()є два терміни:
f(N) = 2 * C * N ^ 0 + 1 * C * N ^ 1
Забираючи всі Cпостійні та зайві частини:
f(N) = 1 + N ^ 1
Оскільки останній член є тим, що збільшується, коли f()наближається до нескінченності (думайте про межі ), це аргумент BigOh, і sum()функція має BigOh:
O(N)
Існує кілька хитрощів для вирішення деяких складних: використовуйте підсумки, коли зможете.
Як приклад, цей код можна легко вирішити, використовуючи підсумки:
for (i = 0; i < 2*n; i += 2) { // 1
for (j=n; j > i; j--) { // 2
foo(); // 3
}
}
Перше, що вам потрібно було запитати - це порядок виконання foo(). Хоча зазвичай це має бути O(1), вам потрібно запитати про це своїх професорів. O(1)означає (майже, в основному) постійну C, незалежну від розміру N.
forЗаява на номер один пропозицію складно. Поки індекс закінчується на 2 * N, приріст робиться на два. Це означає, що перший forвиконується лише Nкроками, і нам потрібно розділити кількість на два.
f(N) = Summation(i from 1 to 2 * N / 2)( ... ) =
= Summation(i from 1 to N)( ... )
Речення номер два ще складніше, оскільки воно залежить від значення i. Погляньте: індекс i приймає значення: 0, 2, 4, 6, 8, ..., 2 * N, а друге forвиконується: N разів перше, N - 2 друге, N - 4 третій ... аж до етапу N / 2, на якому другий forніколи не виконується.
У формулі це означає:
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = ???)( ) )
Знову ми підраховуємо кількість кроків . І за визначенням, кожне підсумовування завжди має починатися з одиниці і закінчуватися числом, більшим або рівним одиниці.
f(N) = Summation(i from 1 to N)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)( C ) )
(Ми припускаємо, що foo()це такO(1) і вживає Cзаходів.)
У нас тут є проблема: коли iпіднімає значення N / 2 + 1вгору, внутрішнє підсумовування закінчується на від’ємному числі! Це неможливо і неправильно. Нам потрібно розділити підсумки надвоє, будучи ключовим моментом, який iзаймає момент N / 2 + 1.
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( Summation(j = 1 to (N - (i - 1) * 2)) * ( C ) ) + Summation(i from 1 to N / 2) * ( C )
З моменту головного моменту i > N / 2 , внутрішній forне буде виконаний, і ми припускаємо постійну складність виконання С на своєму тілі.
Тепер підсумки можна спростити за допомогою деяких правил ідентичності:
- Підсумовування (w від 1 до N) (C) = N * C
- Підсумовування (w від 1 до N) (A (+/-) B) = підсумовування (w від 1 до N) (A) (+/-) підсумовування (w від 1 до N) (B)
- Підсумовування (w від 1 до N) (w * C) = C * Підсумовування (w від 1 до N) (w) (C - константа, незалежна від
w )
- Підсумовування (w від 1 до N) (w) = (N * (N + 1)) / 2
Застосування алгебри:
f(N) = Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2) * ( C ) ) + (N / 2)( C )
f(N) = C * Summation(i from 1 to N / 2)( (N - (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (Summation(i from 1 to N / 2)( N ) - Summation(i from 1 to N / 2)( (i - 1) * 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 )) + (N / 2)( C )
=> Summation(i from 1 to N / 2)( i - 1 ) = Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * Summation(i from 1 to N / 2 - 1)( i )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2) ) + (N / 2)( C )
=> (N / 2 - 1) * (N / 2 - 1 + 1) / 2 =
(N / 2 - 1) * (N / 2) / 2 =
((N ^ 2 / 4) - (N / 2)) / 2 =
(N ^ 2 / 8) - (N / 4)
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - 2 * ( (N ^ 2 / 8) - (N / 4) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - ( (N ^ 2 / 4) - (N / 2) )) + (N / 2)( C )
f(N) = C * (( N ^ 2 / 2 ) - (N ^ 2 / 4) + (N / 2)) + (N / 2)( C )
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * (N / 2) + C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + 2 * C * (N / 2)
f(N) = C * ( N ^ 2 / 4 ) + C * N
f(N) = C * 1/4 * N ^ 2 + C * N
А BigOh - це:
O(N²)
