Яка різниця між Θ (n) і O (n)?

Іноді я бачу Θ (n) із дивним символом with з чимось посеред нього, а іноді просто O (n). Це просто лінь вводити текст, тому що ніхто не знає, як набрати цей символ, чи це означає щось інше?

Коротке пояснення:

Якщо алгоритм має значення Θ (g (n)), це означає, що час роботи алгоритму у міру збільшення n (розмір введення) пропорційний g (n).

Якщо алгоритм дорівнює O (g (n)), це означає, що час роботи алгоритму, коли n збільшується, є максимально пропорційним g (n).

Зазвичай, навіть коли люди говорять про O (g (n)), вони насправді мають на увазі Θ (g (n)), але в технічному плані різниця є.

Більш технічно:

O (n) являє верхню межу. Θ (n) означає щільно пов'язану. Ω (n) являє собою нижню межу.

f (x) = Θ (g (x)) iff f (x) = O (g (x)) і f (x) = Ω (g (x))

В основному, коли ми говоримо, що алгоритм є O (n), це також O (n ² ), O (n ^1000000 ), O (2 ⁿ ), ... але алгоритм Θ (n) не є Θ (n ² ) .

Насправді, оскільки f (n) = Θ (g (n)) засоби для досить великих значень n, f (n) можуть бути пов'язані в межах c ₁ g (n) і c ₂ g (n) для деяких значень c ₁ і c ₂ , тобто швидкість росту f асимптотично дорівнює g: g може бути нижньою межею і і верхньою межею f. Це безпосередньо означає, що f може бути нижньою і верхньою межею g. Отже,

f (x) = Θ (g (x)) iff g (x) = Θ (f (x))

Аналогічно, щоб показати f (n) = Θ (g (n)), досить показати g є верхня межа f (тобто f (n) = O (g (n))), а f - нижня межа g (тобто f (n) = Ω (g (n)), що є точно тим же, що і g (n) = O (f (n))). Точно,

f (x) = Θ (g (x)) iff f (x) = O (g (x)) і g (x) = O (f (x))

Існують також ωпозначення мало-ой і мало-омега ( ), що представляють собою вільну верхню і вільну нижню межі функції.

Узагальнити:

f(x) = O(g(x))(big-oh) означає, що швидкість росту f(x)асимптотично менша або дорівнює швидкості росту g(x).

f(x) = Ω(g(x))(велика омега) означає, що швидкість росту f(x)асимптотично більша або дорівнює швидкості ростуg(x)

f(x) = o(g(x))(мало-о-о) означає, що швидкість росту f(x)асимптотично менша, ніж швидкість росту g(x).

f(x) = ω(g(x))(малоомега) означає, що швидкість росту f(x)асимптотично більша за швидкість ростуg(x)

f(x) = Θ(g(x))(theta) означає, що швидкість росту f(x)асимптотично дорівнює швидкості ростуg(x)

Для більш детального обговорення ви можете прочитати визначення у Вікіпедії або ознайомитися з класичним підручником, таким як Вступ до алгоритмів Кормена та ін.

Існує простий спосіб (напевне, гадаю) запам'ятати, яка позначення означає що.

Для всіх позначень Big-O можна вважати планку.

Дивлячись на Ω, смужка знаходиться внизу, тому вона є (асимптотичною) нижньою межею.

Дивлячись на Θ, смужка, очевидно, посередині. Отже, це (асимптотичне) щільно пов'язане.

Коли ви пишете рукописний текст O, ви, як правило, закінчуєте вгорі і малюєте викрутку. Тому O (n) - верхня межа функції. Справедливості, це не працює з більшістю шрифтів, але це оригінальне виправдання імен.

один великий "O"

одна - Велика Тета

http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

Big O означає, що ваш алгоритм буде виконуватися не більше кроків, ніж у даному виразі (n ^ 2)

Велика Омега означає, що ваш алгоритм буде виконуватись не менше кроків, ніж у даному виразі (n ^ 2)

Коли обидві умови справедливі для одного виразу, ви можете використовувати великі тетані позначення ....

Замість того, щоб дати теоретичне визначення, яке тут прекрасно узагальнено, я наведу простий приклад:

Припустимо, час запуску f(i)становить O(1). Нижче наведено фрагмент коду, асимптотичний час його виконання Θ(n). Він завжди викликає час функцій f(...) n. І нижня, і верхня межа n.

for(int i=0; i<n; i++){
    f(i);
}

Другий фрагмент коду нижче має асимптотичну тривалість виконання O(n). Він викликає функцію f(...) в більшості n випадків. Верхня межа n, але нижня межа може бути Ω(1)або Ω(log(n)), залежно від того, що відбувається всередині f2(i).

for(int i=0; i<n; i++){
    if( f2(i) ) break;
    f(i);
}

Тета - це скорочений спосіб посилання на спеціальну ситуацію, де велика О і Омега однакові.

Таким чином, якщо хтось претендує The Theta is expression q, то вони також обов'язково стверджують, що Big O is expression qі Omega is expression q.

Приблизна аналогія:

Якщо: Тета стверджує: "У цієї тварини 5 ніг". то випливає, що: Big O - правда ("У цієї тварини менше ніж 5 рівних ніжок") і Omega - це правда ("У цієї тварини більше ніж 5 рівних ніг.")

Це лише груба аналогія, оскільки вирази - це не обов'язково конкретні числа, а натомість функції різних порядків, таких як log (n), n, n ^ 2, (тощо).

Діаграма може зробити попередні відповіді легше зрозуміти:

Θ-Позначення - Той самий порядок | O-Notation - Верхня межа

Англійською,

Ліворуч зауважте, що є верхня межа та нижня межа, які мають однаковий порядок (тобто g (n) ). Ігноруйте константи, і якщо верхня і нижня межі мають однаковий порядок, можна справедливо сказати, що f (n) = Θ (g (n)) або f (n) у великій теті g (n) .

Починаючи з правого, більш простого прикладу, він говорить, що верхня межа g (n) - це просто порядок і ігнорує константу c (як і всі великі нотації O ).

f(n)належить, O(n)якщо існує позитивний kякf(n)<=k*n

f(n)належить, Θ(n)якщо існує позитив k1, k2якk1*n<=f(n)<=k2*n

Стаття у Вікіпедії про нотацію Big O

Використання лімітів

Розглянемо f(n) > 0і g(n) > 0для всіх n. Це нормально вважати, оскільки найшвидший реальний алгоритм має принаймні одну операцію і завершує його виконання після початку. Це спростить обчислення, оскільки ми можемо використовувати значення ( f(n)) замість абсолютного значення ( |f(n)|).

1. f(n) = O(g(n))

   Загальне:

             f(n)     
   0 ≤ lim ──────── < ∞
       n➜∞   g(n)
   

   Для g(n) = n:

             f(n)     
   0 ≤ lim ──────── < ∞
       n➜∞    n
   

   Приклади:

       Expression               Value of the limit
   ------------------------------------------------
   n        = O(n)                      1
   1/2*n    = O(n)                     1/2
   2*n      = O(n)                      2
   n+log(n) = O(n)                      1
   n        = O(n*log(n))               0
   n        = O(n²)                     0
   n        = O(nⁿ)                     0
   

   Контрприклади:

       Expression                Value of the limit
   -------------------------------------------------
   n        ≠ O(log(n))                 ∞
   1/2*n    ≠ O(sqrt(n))                ∞
   2*n      ≠ O(1)                      ∞
   n+log(n) ≠ O(log(n))                 ∞
   

2. f(n) = Θ(g(n))

   Загальне:

             f(n)     
   0 < lim ──────── < ∞
       n➜∞   g(n)
   

   Для g(n) = n:

             f(n)     
   0 < lim ──────── < ∞
       n➜∞    n
   

   Приклади:

       Expression               Value of the limit
   ------------------------------------------------
   n        = Θ(n)                      1
   1/2*n    = Θ(n)                     1/2
   2*n      = Θ(n)                      2
   n+log(n) = Θ(n)                      1
   

   Контрприклади:

       Expression                Value of the limit
   -------------------------------------------------
   n        ≠ Θ(log(n))                 ∞
   1/2*n    ≠ Θ(sqrt(n))                ∞
   2*n      ≠ Θ(1)                      ∞
   n+log(n) ≠ Θ(log(n))                 ∞
   n        ≠ Θ(n*log(n))               0
   n        ≠ Θ(n²)                     0
   n        ≠ Θ(nⁿ)                     0
   

Висновок: ми розглядаємо велике O, велике θ і велике Ω як те саме.

Чому? Я розповім причину нижче:

По-перше, я проясню одне неправильне твердження, деякі люди думають, що нас просто хвилює найгірша складність часу, тому ми завжди використовуємо велику O замість великої θ. Я скажу, що ця людина фігня. Верхня та нижня межі використовуються для опису однієї функції, а не для опису складності в часі. Найгірша функція часу має верхню та нижню межі; найкраща функція часу має також верхню та нижню межі.

Щоб чітко пояснити зв’язок між великим O і великим θ, я спочатку поясню відношення між великим O і малим o. З визначення, ми можемо легко знати, що малий o - це підмножина великого О. Наприклад:

T (n) = n ^ 2 + n, можна сказати T (n) = O (n ^ 2), T (n) = O (n ^ 3), T (n) = O (n ^ 4). Але для малого o T (n) = o (n ^ 2) не відповідає визначенню малого o. Тож просто T (n) = o (n ^ 3), T (n) = o (n ^ 4) правильні для малих o. Надлишковим T (n) = O (n ^ 2) є що? Це великий θ!

Взагалі ми говоримо, що великий O - це O (n ^ 2), навряд чи можна сказати T (n) = O (n ^ 3), T (n) = O (n ^ 4). Чому? Тому що ми розглядаємо велике O як велике θ підсвідомо.

Точно так само ми підсвідомо розглядаємо великі Ω як великі θ.

Одним словом, великий O, великий θ і великий Ω - це не те саме, що є у визначеннях, але вони є одне і те ж у нашому роті та мозку.