Чи є проблеми, за якими, як відомо, квантові комп'ютери надають експоненціальну перевагу?

Загальноприйнято вважати і стверджувати, що квантові комп'ютери можуть перевершити класичні пристрої принаймні в деяких завданнях.

Один з найбільш часто цитованих прикладів проблеми, в якій квантові комп'ютери перевершують класичні пристрої, - це $\text{Factoring}$ , але знову ж таки невідомо, чи також ефективно вирішується з класичним комп'ютером (тобто чи ).Факторинг ∈ $\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

Для інших часто цитованих проблем, в яких квантові комп'ютери, як відомо, надають перевагу, такі як пошук у базі даних, прискорення є лише многочленом.

Чи відомі випадки проблем, в яких можна довести (або доведено або доведено при сильних припущеннях обчислювальної складності), що квантові комп'ютери забезпечують експоненціальну перевагу?

Припустимо, функція має таке цікаве властивість: Існує s ∈ { 0 , 1 } n така, що f ( x ) = f ( y ) тоді і тільки тоді, коли x + y = s . Якщо s = 0 є єдиним рішенням, це означає, що f дорівнює 1; інакше є ненульовий s такий, що f ( x $f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$ для всіх x , що, оскільки 2 = 0 , означає f - 2-до-1.$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$

Яка вартість будь-якої встановленої ймовірності успіху на класичному або квантовому комп'ютері відрізнити рівномірну випадкову функцію 1 на 1 від рівномірної випадкової функції 2 на 1, що задовольняє цій властивості, якщо кожен варіант (1-до -1 або 2-до-1) має рівну ймовірність?

Тобто я таємно гортаю монету; якщо я дістаю голови, я передаю вам чорну коробку (класичну або квантову, відповідно) схему для рівномірної випадкової функції 1 на 1 , тоді як якщо я отримаю хвости, я передаю вам схему чорного поля для рівномірного випадкового 2-к -1 функція f . Скільки ви повинні заплатити , щоб отримати задану ймовірність успіху р розповідання отримав я орел чи решка?$f$$f$$p$

Це сценарій алгоритму Саймона . Він має езотеричні застосування в безглуздому криптоаналізі , ^* і був раннім інструментом для вивчення класів складності BQP та BPP і раннім натхненням для алгоритму Шора.

Саймон представив квантовий алгоритм (§3.1, стор. 7), який коштує кубітів і очікуваний час O ( n ⋅ T f ( n ) + G ( n ) ) для ймовірності близько 1 успіху, де T f ( n ) - час обчислити суперпозицію значень f на вході розміру n і де G ( n ) - час для вирішення$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$ система лінійних рівнянь у F 2 .$n \times n$$\mathbb F_2$

Далі Саймон накреслив доказ (теорема 3.1, стор. 9), що класичний алгоритм, що оцінює за не більше ніж 2 n / 4 різних дискретних значень, не може вгадати монету з перевагою краще, ніж 2 - n / 2 над рівномірним випадковим здогадом.$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

У певному сенсі це відповідає на ваше запитання позитивно: Квантове обчислення, що вимагає лінійної кількості оцінок випадкової функції на квантовому суперпозиції входів, може досягти набагато кращої ймовірності успіху, ніж класичне обчислення, що вимагає експоненціальної кількості оцінок випадкової функції на дискретних входи , за розміром входів. Але в іншому сенсі , це не відповідь на ваше запитання на всіх, тому що це може бути , що для кожної конкретної функції є більш швидкий спосіб обчислення пошуку.$f$

Алгоритм Deutsch – Jozsa слугує аналогічною ілюстрацією для дещо іншої штучної проблеми для вивчення різних класів складності, P та EQP, з'ясовуючи деталі, які залишаються вправою для читача.

_{^* Саймон не є чутливим до криптоаналізу, тому що лише немислимо заплутаний ідіот подасть їх секретний ключ у квантовий ланцюг противника, щоб використовувати його на квантовому суперпозиції входів, але чомусь це робить сплеск щоразу, коли хтось публікує новий документ про використання алгоритму Саймона ламати ключі ідіотів з уявним обладнанням, саме так працюють усі ці атаки. Виняток: Можливо, це може зламати криптографію білого поля , але історія безпеки криптографії білого поля навіть проти класичних супротивників не є багатообіцяючою.}

Не впевнений, чи це саме те, що ви шукаєте; і я не знаю, що я би кваліфікував це як "експоненціальне" (я також не є вченим-комп’ютером, тому моя здатність робити аналіз алгоритмів більш-менш відсутня ...), але останній результат Bravyi et. al представив клас "2D задач прихованої лінійної функції", які, очевидно, використовують менше ресурсів на квантовому паралельному пристрої.

Стаття знаходиться на арксиві тут , але ось короткий підсумок. Квантова перевага полягає в глибині паралельного кола, тому кількість ниток можна розділити проблему на обмежений вентилятор. Проблема дається матриці A і вхідний вектор Ь , можна визначити квадратичную форму д і спеціальне підпростір для цієї форми. Метою "прихованої лінійної функції" є пошук лінеаризації для цієї квадратичної функції на спеціальному підпросторі.$N\times N$$A$$b$$q$

Класична імовірнісна схема обмежена до ~ глибин, якщо ви хочете , щоб ваші обчислення , щоб домогтися успіху з ймовірністю > 7 / 8 (ви , ймовірно , хочете, щоб домогтися успіху, принаймні цієї ймовірність). Квантова схема може робити це з постійною глибиною, тому це велике вдосконалення.$\log{N}$$>7/8$

Доведення, по суті, означає, що конкретний стан графа є складним для моделювання класичної схеми, цей підвід був доведений трохи раніше . Потім решта статті показує, що більший клас проблем містить цю складну проблему.

$\neq$

$\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$ $\neq$

Хоча я не можу надати офіційного доказу, моделювання (часової еволюції) квантової системи вважається таким випадком: не існує відомого кращого способу зробити це на класичному комп'ютері, ніж у експоненційний час, але квантовий комп'ютер може тривіально роблять це в поліном час.

Ідея такого квантового симулятора (див. Також статтю у вікіпедії ) насправді полягає в тому, як вперше були запропоновані квантові комп'ютери.