Чи можемо ми використовувати квантовий паралелізм для обчислення багатьох функцій одночасно?

9

Добре відомо, що за допомогою квантового паралелізму ми можемо обчислити функцію $f(x)$ для багатьох різних значень одночасно. Однак потрібні деякі розумні маніпуляції, щоб отримати інформацію про кожне значення, тобто з алгоритмом Deutsch. $x$

Розглянемо зворотний випадок: чи можемо ми використовувати квантовий паралелізм для обчислення багатьох функцій (скажімо, ) одночасно для одного значення ? $f(x),g(x),\dots$ $x_0$

algorithm speedup

— donnydm
джерело

Для оцінки та вам потрібно зробити копію для кожної операції, що, як правило, неможливо теоремою про клонування. Якщо, з іншого боку, ви просто готуєте стан, який два рази , ви просто відновите класичний паралелізм.

f (x_{0})

$f(x_0)$

g (x_{0})

$g(x_0)$

x_{0}

$x_0$

x_{0}

$x_0$

@HenriMenke Як щодо недосконалого клонування?

— donnydm

@HenriMenke: ваше уявлення про те, що таке «клонування», здається, дуже широке, щоб створити певні перешкоди для вашої здатності продуктивно підходити до проблем.

— Ніль де Бодорап

5

Точна відповідь залежить від того, який саме тип суперпозиції ви хочете. Відповіді пірамід та Ніла дають щось подібне

A \sum_{t = 1}^{n} | f_{t} (x) ⟩ \otimes | F_{t} ⟩

$A\sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle \otimes |F_t\rangle$

Тут я стежив за , різні функції , тощо, з як загальною кількістю функцій, які ви хочете замінити. Також я використовував для позначення деякого опису функції як збереженої програми. Тільки те , що потреби номер , щоб бути там для держави нормалізуватися. $f_1$ $f_2$ $n$ $F_t$ $f_t$ $A$

Зауважте, що це не просто суперпозиція . Він заплутаний із збереженою програмою. Якби ви відшукали збережену програму, ви просто мали б суміш . Це означає, що збережена програма може являти собою "сміття", що запобігає ефектам перешкод, на які ви можете розраховувати. А може і не. Це залежить від того, як ця суперпозиція буде використана у ваших обчисленнях. $f_t(x)$ $f_t(x)$

Якщо ви хочете позбутися від сміття, речі стають складнішими. Наприклад, припустимо, що ви хочете - це унітарна яка має ефект $U$

U : | x ⟩ \otimes | 0 ⟩^{\otimes N} \to A \sum_{t = 1}^{n} | f_{t} (x) ⟩

$U : \,\,\, | x \rangle \otimes |0\rangle^{\otimes N} \rightarrow A \sum_{t=1}^n |\,\,f_t (x)\,\,\rangle$

для всіх можливих входів (які я припускаю, це бітові рядки, записані в обчислювальній основі). Зауважте, що я також включив кілька пустих кубітів на стороні входу, якщо у функцій є більш тривалі виходи, ніж входи. $x$

З цього ми можемо дуже швидко знайти умову, якій функції повинні задовольняти: оскільки вхідні стани утворюють ортогональний набір, так і виходи. Це дозволить суттєво обмежити види функцій, які можна комбінувати таким чином.

— Джеймс Вуттон
джерело

Дякую, я думаю, що таким чином можна прискорити що-небудь, як розрахунок розширення Тейлора. У будь-якому випадку, чи можна отримати доступ / зберігати збережену програму, щоб отримати якусь інформацію, чи це просто інструмент?

— donnydm

Збережена програма буде просто записана в реєстр кубітів, тому цим, безумовно, можна маніпулювати.

— Джеймс Вуттон

5

Функції $f,g,\ldots$ що ви хочете оцінити в різних обчислювальних галузях, щоб бути обчислюваним взагалі, певним чином можна визначити (наприклад, послідовність класичних логічних воріт). І набір $\{ f_1, f_2 , \ldots \}$ функції, які ви хочете обчислити, повинні бути обчислюваними: для даної задачі $t$ , ви повинні мати можливість обчислити специфікацію того, як $f_t$ слід обчислити його аргумент. По суті: ви повинні мати засоби опису функцій $f_t$ як збережені програми. (Це все необхідне, навіть перш ніж ми розглянемо квантові обчислення, для питання "обчислення однієї / всіх функцій $f_1, f_2, \ldots$ на вхід $x_0$ "бути значущим.)

Після того, як у вас є спосіб визначення функцій як збережених програм, ви, в основному, готові: програма - це, по суті, інший вид вводу, який ви можете підготувати за допомогою суперпозиції, і, наприклад, оцінити на фіксованому вході або суперпозиції входів, обчислюючи функції з їх специфікацій у кожній галузі.

Отримати компенсаційну перевагу від цього - справа інша, і доведеться залучати до функцій якусь конкретну структуру $f_t$ що ви можете скористатися, але просто "оцінити в суперпозиції" легко зробити, якщо у вас є достатньо інформації, щоб питання було зрозумілим.

— Ніль де Бодорап
джерело

3

Так (залежно від того, що означає "обчислити багато функцій одразу")

Опис схеми, яка дає функцію $f$ як $U_f$ і схема подачі $g$ як $U_g$ , Є кілька способів зробити це:

Починаючи з регістрів кубіту в $\left|00x\right>$ , Підготуйте стан $\alpha\left|01\right>+\beta\left|10\right>$ на перші два регістри. Це можна зробити, застосувавши унітарний номер ¹ до першого реєстру для внесення цього реєстру в штат $\alpha\left|0\right> + \beta\left|1\right>$ перш ніж застосовувати CNOT, потім $I\otimes X$ . Потім подайте заявку $CU_f$ від першого реєстру до третього і $CU_g$ від другого до третього.

1.1. Це дає висновок, що третій реєстр зараз знаходиться у штаті $\left(\alpha U_f + \beta U_g\right)\left|x\right>$ , коли початкові операції (до $I\otimes X$ ) на перших двох регістрах обернено. Однак, із-за загальних труднощів у здійсненні довільних контрольованих унітарних операцій (а також використання зайвих кубітів без необхідності), можливо, було б легше здійснити це безпосередньо шляхом набору номера унітарних $\alpha U_f + \beta U_g$ . Зауважте, що це не є реалізацією $f$ ні $g$ , але нова, інша функція $f+g$

1.2. Не обертаючи початкових операцій на перших двох регістрах, третій ставить у деякий заплутаний стан $f$ і $g$ , про що йдеться в інших відповідях.
Починаючи з держави $\left|xx\right>$ та застосування $U_f$ до першого реєстру та $U_g$ до другого. Це найближче до класичного паралелізму, коли обидві функції застосовуються незалежно до копій одного стану. Окрім того, що потрібно двічі кількість кубітів, проблема полягає в тому, що через не клонування потрібно скопіювати $\left|x\right>$ , це або повинно бути відомим, або бути класичним станом (тобто не включати в обчислювальну основу суперпозиції). Приблизне клонування також може бути використане.
Почніть з держави $\left|0x\right>$ , а також класичний реєстр. Застосуйте унітар ^1, щоб поставити перший регістр у суперпозицію $\alpha\left|0\right>+\beta\left|1\right>$ . Тепер виміряйте цей регістр (помістивши результат у класичний регістр) і застосуйте класичну операцію IF RESULT = 0 U_f ELSE U_g. Хоча це може здатися менш потужним, ніж будь-яка з перерахованих вище операцій, це в певному сенсі еквівалентно квантовому каналу $\mathcal E\left(\rho\right) = \lvert\alpha\rvert^2U_f\rho U_f^\dagger + \lvert\beta\rvert^2U_g\rho U_g^\dagger$ . Такі методи можуть бути використані для створення випадкових унітаріїв, які застосовують, наприклад, вибірку бозону та рандомізоване тестування

^{1 дано}

(\begin{matrix} α & - β^{*} \\ β & α^{*} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}\alpha &&-\beta^* \\ \beta && \alpha^*\end{pmatrix}$

— Мітрандір24601
джерело

Це цікаво, частково тому, що не потрібно зберігати програму. Чи потрібен CNOT у №1?

— donnydm

2

Так, можна. Хитрість полягає у визначенні (та реалізації) нової функції $f_\mathrm{all}(y,x)$ що оцінює до $f(x)$ якщо $y=0$ , до $g(x)$ якщо $y=1$ і т. д. Потім готують представлення кубітів $y$ у бажаному суперпозиції та множині $x$ до $x_0$ .

— піраміди
джерело