Багато робіт стверджують, що гамільтонове моделювання є повним BQP (наприклад, гамільтонове моделювання з майже оптимальною залежністю від усіх параметрів та гамільтонове моделювання за допомогою кубітизації ).

Неважко помітити, що моделювання гамільтонів важко BQP, оскільки будь-який квантовий алгоритм можна звести до гамільтонового моделювання, але як моделювання гамільтонів у BQP?

тобто яка проблема гамільтонівського моделювання рішення в BQP і за яких умов гамільтонів?

— групи
джерело

Існує безліч різних варіантів, особливо що стосується умов гамільтоніана. Наприклад, це трохи гра, щоб спробувати знайти найпростіший можливий клас гамільтоніанів, для яких моделювання все ще закінчено BQP.

Виписка буде приблизно уздовж: нехай бути (нормована) стан продукту, гамільтонова з деякого певного класу (наприклад , що складаються тільки з найближчих сусідніх з'єднувальних муфт на одновимірної що спостерігається , що містить тензорний добуток операторів одного тіла , таких , що , а бути час. З огляду на обіцянку , що $|\psi\rangle$ $H$ $\hat O$ $\|\hat O\|\leq 1$ $t$ $\langle\psi|e^{iHt}\hat O e^{-iHt}|\psi\rangle$ або більше, ніж або менше $\frac12+a$ для деякого(наприклад, $\frac12-a$ $a$ ), вирішіть, у чому справа. $a=\frac16$

Детальніше

Гамільтонове моделювання важко BQP

Основна конструкція (спочатку пояснюється Фейнманом, тут трохи переосмислена) в основному показує, як ви можете спроектувати гамільтоніан, який здійснює будь-які квантові обчислення, включаючи будь-які обчислення BQP. Ви можете помітити, що ви вимірюєте лише на певному вихідному кубіті, два результати вимірювання, що відповідають "так" і "ні". $Z$

Найпростіший різновид гамільтоніана, який ви можете подумати, - це розглянути обчислення послідовних унітарій діють на кубіти, починаючи з стану . Потім ви можете ввести додаткові кубітів і вказати гамільтонівський $N-1$ $U_n$ $M$ $|0\rangle^{\otimes M}$ $N$

H = \frac{2}{N} \sum_{n = 1}^{N - 1} \sqrt{n (N - n)} (| 10 ⟩ ⟨ 01 |_{n, n + 1} \otimes U + | 01 ⟩ ⟨ 10 |_{n, n + 1} \otimes U^{†}) .

$H=\frac{2}{N}\sum_{n=1}^{N-1}\sqrt{n(N-n)}\left(|10\rangle\langle 01|_{n,n+1}\otimes U+|01\rangle\langle 10|_{n,n+1}\otimes U^\dagger\right).$

| 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 0 ⟩^{\otimes M}

$|1\rangle|0\rangle^{\otimes(N-1)}|0\rangle^{\otimes M}$

N π / 4

$N\pi/4$ , it will be in a state

| 0 ⟩^{\otimes (N - 1)} | 1 ⟩ | Φ ⟩

$|0\rangle^{\otimes (N-1)}|1\rangle|\Phi\rangle$ where

| Φ ⟩

$|\Phi\rangle$ is the output of the desired computation. The funny coupling strengths that I've used here, the

\sqrt{n (N - n)}

$\sqrt{n(N-n)}$ are chosen specifically to give deterministic evolution, and are related to the concept of perfect state transfer. Usually you'll see results stated with equal couplings, but probabilistic evolution.

| ψ_{n} ⟩ = | 0 ⟩^{\otimes (n - 1)} | 1 ⟩ | 0 ⟩^{\otimes N - n} \otimes (U_{n - 1} U_{n - 2} \dots U_{1} | 0 ⟩^{\otimes M}) .

$|\psi_n\rangle=|0\rangle^{\otimes(n-1)}|1\rangle|0\rangle^{\otimes{N-n}}\otimes\left(U_{n-1}U_{n-2}\ldots U_1|0\rangle^{\otimes M}\right).$ The action of the Hamiltonian is then

H | ψ_{n} ⟩ = \frac{2}{N} \sqrt{(n - 1) (N + 1 - n)} | ψ_{n - 1} ⟩ + \frac{2}{N} \sqrt{n (N - n)} | ψ_{n + 1} ⟩,

$H|\psi_n\rangle=\frac2N\sqrt{(n-1)(N+1-n)}|\psi_{n-1}\rangle+\frac2N\sqrt{n(N-n)}|\psi_{n+1}\rangle,$ which proves that the evolution is restricted to an

N \times N

$N\times N$ subspace which is represented by a tridiagonal matrix (which is the specific thing studied in perfect state transfer).

Of course, this Hamiltonian doesn't have any particularly nice properties - it is highly non-local, for example. There are many tricks that can be played to simplify the Hamiltonian to being, for example, one-dimensional. It can even be translationally invariant if you want, at the cost of having to prepare a more complex initial product state (at that point, the computation is no longer encoded in the Hamiltonian, which is universal, but is encoded in the input state). See here, for example.

Hamiltonian Simulation

The evolution of any Hamiltonian which is local on some lattice, acting on an initial product state, for a time that is no more than polynomial in the system size, can be simulated by a quantum computer, and any efficiently implementable measurement can be applied to estimate an observable. In this sense, you can see that Hamiltonian simulation is no harder than a quantum computation, the counter-point to the previous statement that quantum computation is no harder than Hamiltonian simulation.

There are many ways to do this (and there have been some recent papers that show significant improvements in error scaling for certain classes of Hamiltonian). Hre's quite a simple one. Take the Hamiltonian $H$ that you want to simulate. Split it up into different parts, $H_i$ , each of which commutes. For example, on a nearest-neighbour Hamiltonian on some graph, you don't need more pieces than the maximum degree of the graph. You then Trotterize the evolution, writing the approximation

e^{i H t} \approx {(e^{- i H_{1} δ t} e^{- i H_{2} δ t} \dots e^{- i H_{n} δ t})}^{t / δ t}

$e^{iHt}\approx \left(e^{-iH_1\delta t}e^{-iH_2\delta t}\ldots e^{-iH_n\delta t}\right)^{t/\delta t}$ So, you just have to construct a circuit that implements terms like

e^{- i H_{1} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}$ , which is composed of commuting terms

H_{1} = \sum_{n} h_{n}

$H_1=\sum_nh_n$ , each of which acts only on a small number of qubits.

e^{- i H_{1} δ t} = \prod_{n} e^{- i h_{n} δ t}

$e^{-iH_1\delta t}=\prod_{n}e^{-ih_n\delta t}$ Since this is just a unitary on a small number of terms, a universal quantum computer can implement it.

— DaftWullie
джерело

Гамільтонове моделювання завершено BQP

Детальніше

Гамільтонове моделювання важко BQP

Hamiltonian Simulation