Алгоритм Гровера: приклад із реального життя?

13

Я досить розгублений щодо того, як алгоритм Гровера може бути використаний на практиці, і я хотів би попросити довідки щодо уточнення через приклад.

Припустимо, база даних елементів яка містить кольори Червоний, Помаранчевий, Жовтий, Зелений, Блакитний, Синій, Індиго та Фіолетовий, і не обов'язково в цьому порядку. Моя мета - знайти Red в базі даних. $N=8$

Вхідним алгоритмом Гровера є кубіти, де 3 кубіти кодують індекси набору даних. Моя плутанина приходить сюди (може бути, плутати щодо приміщень, тож, скажімо, тут відбувається плутанина), що, як я розумію, оракул насправді шукає один з індексів набору даних (представлений суперпозицією трьох кубітів), і, крім того, оракул є "жорстким кодом", для якого індексу його слід шукати. $n = \log_2(N=8) = 3$

Мої запитання:

Що я тут помиляюся?
Якщо оракул дійсно шукає один з індексів бази даних, це означає, що ми вже знаємо, який індекс ми шукаємо, тож навіщо шукати?
Враховуючи вищезазначені умови з кольорами, чи може хтось вказати, чи можна з Гровером шукати Red у неструктурованому наборі даних?

Існують реалізації алгоритму Гровера з оракулом для шукають | 111>, наприклад (або див. R-реалізацію того ж оракула нижче): /quantum//a/2205 $n=3$

Знову ж таки, моя плутанина полягає в тому, що я не знаю положення елементів у наборі даних, алгоритм вимагає від мене пошуку рядка, що кодує положення елементів. Як я можу знати, яку позицію слід шукати, коли набір даних неструктурований? $N$ $N$

R код:

 #START
 a = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 # 1st CNOT
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2)) 
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 a = DotProduct(n2,n1)
 #repeat the same from 2st not gate
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n3 = DotProduct(n2,n1)
 result=measurement(n3)
 plotMeasurement(result)

grovers-algorithm

— 01000001
джерело

3

Можливий дублікат алгоритму Гровера: де список?

— DaftWullie

також пов'язані з: quantumcomputing.stackexchange.com/q/175/55

— glS

5

| x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} \to | x ⟩_{address} | load (x) \oplus 0 ⟩_{value} = | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value} .

$|x\rangle_{\text{address}}|0\rangle_{\text{value}} \rightarrow |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\oplus 0\rangle_{\text{value}} = |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}.$

H_{address}^{\otimes n} | 0 ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} = \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value}

$H^{\otimes n}_{\text{address}} |0\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}=\frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}$

apply load \to \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value}

$\text{apply load}\rightarrow \frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

x^{*}

$x^*$

| x^{*} ⟩_{address} | load (x^{*}) ⟩_{value} .

$|x^*\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x^*)\rangle_{\text{value}}.$

Можливо, головна проблема у вас полягає в розумінні бази даних, а не в алгоритмі Grover. Більш детальне пояснення ви можете побачити в главі 6.5 Нільсен та Чуанг для цього.

Я також думаю, що найкориснішим застосуванням алгоритму Гровера є не додаток до бази даних, а його узагальнення як амплітудне підсилення (див. Https://arxiv.org/abs/quant-ph/0005055 ) на будь-якому квантовому алгоритмі.

$\neq$

— Алекс Го
джерело

\neq

$\neq$

\sum_{k} | k ⟩ \otimes | s_{k} ⟩

$\sum_k |k\rangle\otimes|s_k\rangle$

k

$k$

s_{k} = + 1

$s_k=+1$

s_{k}

$s_k$ .

— glS

\neq

$\neq$

4

Це вже частково обговорено в цьому пов'язаному питанні , але я спробую тут розглянути більш конкретно деякі проблеми, які ви виникаєте.

| i ⟩ \mapsto (- 1)^{f (x_{i})} | i ⟩,

$|i\rangle\mapsto(-1)^{f(x_i)}|i\rangle,$

i

$i$

x_{i}

$x_i$

i

$i$

$f(x_i)$ $x_i$ $x_i$ $x_i$ $P$ $P$

$f$ $x_i$ $i$ $x_i$

$x_i=i$ $x_i$

У такому випадку алгоритм справді не особливо корисний, оскільки відповідь має бути жорстко введено в оракул, але це взагалі не повинно бути.

— glS
джерело

Дякую за вашу відповідь! Можливо, чи можна було б навести приклад із реального життя, коли Гровер «корисний», застосований до якихось реальних даних з огляду на представлений оракул? Наприклад, як це буде працювати з 8-елементною базою даних з праймерами та не-праймерами?

— 01000001

1

f

$f$

f

$f$

x

$x$