Є всі

У теоремі 2 із [1] зазначено:

Припустимо $C$ є додатковою самоортогональною підкодом $\textrm{GF}(4)^n$, що містить $2^{n-k}$ вектори, такі, що немає векторів ваги $<d$ в $C^\perp/C$. Тоді будь-яке власне простір$\phi^{-1}(C)$ - це аддитивний квантово-виправний помилки з параметрами $[[n, k, d]]$.

де тут $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$ - карта між бінарним поданням $n$-складіть оператори Паулі та пов'язані з ними кодові слова, і $C$є самоортогональним, якщо$C \subseteq C^\perp$ де $C^\perp$ є подвійним $C$.

Це говорить нам, що кожна добавка самоортогональна $\textrm{GF}(4)^n$ класичний код являє собою $[[n, k, d]]$ квантовий код.

Моє запитання - чи правда і зворотна, тобто: є кожна$[[n, k, d]]$ квантовий код, представлений адитивним самоортогональним $\textrm{GF}(4)^n$ класичний код?

Або рівнозначно: чи є такі$[[n, k, d]]$ квантові коди, які не представлені адитивним самоортогональним $\textrm{GF}(4)^n$ класичний код?

[1]: Calderbank, A. Robert та ін. "Квантове виправлення помилок за допомогою кодів над GF (4)." Операції IEEE з інформаційної теорії 44.4 (1998): 1369-1387.

Аддитивне самоортогональне обмеження класичних кодів для створення квантових кодів стабілізатора необхідне через те, що генератори стабілізаторів повинні переміщатися між ними для створення дійсного кодового простору. При створенні квантових кодів з класичних кодів коефіцієнт комутації стабілізаторів рівносильний тому, що має самоортогональний класичний код.

Однак квантові коди можна побудувати з класичних кодів, які не є само-ортогональними $GF(4)^n$за допомогою заплутування-допомоги. У цій конструкції вибирається довільний класичний код, і шляхом додавання деяких пар Белла в кубітну систему виходить комутація між стабілізаторами.

Ця парадигма за допомогою заплутаності для побудови QECC з будь-якого класичного коду представлена ​​в arXiv: 1610.04013 , що базується на роботі "Виправлення квантових помилок із заплутуванням", опублікованій у Science Brun, Devetak та Hsieh.

Часто запитання можна розглядати як нотаційне питання.

Позначення $[[n,k,d]]_D$часто (але не завжди) резервується для кодів типу стабілізатора. Як показує стаття Calderbank та ін., Коди кубічного стабілізатора еквівалентні адитивним самоортогональним GF (4) ^ n класичним кодам. Ця конструкція узагальнюється, див. Кеткар та ін. і Ашіхмін і Найлл . Тут розмірність коду є$D^k$ для quDits.

Деякі автори використовують $((n,K,d))_D$ позначити (стабілізатор та нестабілізатор) коди, які мають розмірність $K$. Зауважте, що$K$ тоді це не обов'язково сила $D$.

Rains та ін. першими побудували a$((5,6,2))$ код нестабільного типу, який, мабуть, кращий, ніж будь-який код стабілізатора на п'яти кубітах: порівняно, найкращий має параметри $[[5,2,2]]$, і, таким чином, розмірність $2^2 = 4 < 6$. Ви знайдете більше прикладів неаддитивних квантових кодів у Ю та ін. , Смолін та ін. , і Грассл і Бет .