Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 2 - Підготовка початкових станів

^{Це продовження квантового алгоритму для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 2 - Що таке$|\Psi_0\rangle$?}

У статті: Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) деталі фактичної реалізації алгоритму не наводяться. Як саме держави$|\Psi_0\rangle$ і $|b\rangle$створені, є свого роду " чорною скринькою " (див. сторінки 2-3).

і

де $|\Psi_0\rangle$ - початковий стан тактового регістра та $|b\rangle$ - початковий стан реєстру введення.

(Скажіть) Я хочу провести їх алгоритм на IBM$16$-квітовий квантовий комп'ютер. І я хочу розв’язати певне рівняння$\mathbf{Ax=b}$ де $\mathbf{A}$ є $4\times 4$ Ермітова матриця з реальними записами та $\mathbf{b}$ є $4\times 1$ вектор стовпців з реальними записами.

Візьмемо приклад:

і

З огляду на розміри $\mathbf{A}$ і $\mathbf{b}$, нам потрібно $\lceil{\log_2 4\rceil}=2$ кубіти для вхідного регістра та іншого $6$ кубіти для реєстрації годин, припускаючи, що ми хочемо представити власні значення $90\%$ точність і до $3$-бітовая точність для власних (це вже обговорювалося тут раніше). Так тотально$2+6+1=9$ Для цього знадобляться кубіти (додатково $1$ кубіт - це ацилла).

Запитання:

1. Використовуючи цю інформацію, чи можливо створити початкові стани$|\Psi_0\rangle$ і $|b\rangle$ на IBM $16$ версія кубіта?

2. Якщо ти думаєш $4\times 4$занадто великий, щоб його можна було реалізувати на квантових комп'ютерах IBM, щоб ви навіть могли показати приклад початкової підготовки до стану$2\times 2$ Ермітова матриця $\mathbf{A}$ (або просто дайте посилання на такий приклад).

Я просто хочу отримати загальне уявлення про те, чи можна це зробити (тобто чи можливо) на квантовому комп'ютері IBM 16-кубітним, і для того, які ворота знадобляться. Якщо не 16-кубітний квантовий комп'ютер IBM, чи може симулятор QISKit, який використовується для відтворення початкового стану підготовки$|\Psi_0\rangle$ і $|b\rangle$в алгоритмі HHL? Чи є якась інша краща альтернатива для вирішення цього питання?

Неможливо створити початкові стани $\left| \Psi_0\right>$ і $\left|b\right>$на версії IBM 16 кубітів. З іншого боку, можна наблизити їх довільно низькою помилкою ^1, оскільки ворота, реалізовані мікросхемами IBM, пропонують таку можливість.

Тут ви запитуєте про 2 різних квантових станах:

1. $\left| b \right>$взагалі не обмежений. Стан$\left| b \right>$ представлений вектором $N$ складні числа, які можуть бути будь-якими (доки вектор має унітарну норму).
2. $\left| \Psi_0 \right>$ можна розглядати як особливий випадок $\left| b \right>$, де коефіцієнти $b_i$ є більш обмеженими.

За допомогою цього аналізу будь-який метод, який можна використовувати для створення $\left|b\right>$ також можна використовувати для створення $\left| \Psi_0 \right>$. З іншого боку, як$\left| \Psi_0 \right>$ є більш обмеженим, ми можемо сподіватися, що існують ефективніші алгоритми для створення $\left| \Psi_0 \right>$.

Корисно для $\left|b\right>$ і $\left|\Psi_0\right>$: На основі синтезу квантових логічних схем (Shende, Bullock & Markov, 2006) QISKit Python SDK реалізує загальний метод ініціалізації довільного квантового стану.

Корисно для $\left|\Psi_0\right>$: Створення суперпозицій, які відповідають ефективно інтегруючим розподілам ймовірностей (Grover & Rudolph, 2002), швидко представляє алгоритм для ініціалізації стану, амплітуди якого представляють розподіл ймовірності з урахуванням деяких обмежень. Ці обмеження дотримуються$\left|\Psi_0\right>$згідно з квантовим алгоритмом розв’язування лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , останній рядок сторінки 5.

Для реалізації на QISKit, ось зразок для ініціалізації заданого квантового стану:

import qiskit

statevector_backend = qiskit.get_backend('local_statevector_simulator')

###############################################################
# Make a quantum program for state initialization.
###############################################################
qubit_number = 5
Q_SPECS = {
    "name": "StatePreparation",
    "circuits": [
        {
            "name": "initializerCirc",
            "quantum_registers": [{
                "name": "qr",
                "size": qubit_number
            }],
            "classical_registers": [{
                "name": "cr",
                "size": qubit_number
            }]},
    ],
}
Q_program = qiskit.QuantumProgram(specs=Q_SPECS)

## State preparation
import numpy as np
from qiskit.extensions.quantum_initializer import _initializer

def psi_0_coefficients(qubit_number: int):
    T = 2**qubit_number
    tau = np.arange(T)
    return np.sqrt(2 / T) * np.sin(np.pi * (tau + 1/2) / T)

def get_coeffs(qubit_number: int):
    # Can be changed to anything, the initialize function will take
    # care of the initialisation.
    return np.ones((2**qubit_number,)) / np.sqrt(2**qubit_number)
    #return psi_0_coefficients(qubit_number)

circuit_prep = Q_program.get_circuit("initializerCirc")
qr = Q_program.get_quantum_register("qr")
cr = Q_program.get_classical_register('cr')
coeffs = get_coeffs(qubit_number)
_initializer.initialize(circuit_prep, coeffs, [qr[i] for i in range(len(qr))])

res = qiskit.execute(circuit_prep, statevector_backend).result()
statevector = res.get_statevector("initializerCirc")
print(statevector)

¹ Тут "помилка" посилається на помилку між ідеальним станом та наближенням при роботі з ідеальним квантовим комп'ютером (тобто відсутність декогерентності, помилка затвора).

Алгоритм HHL з матрицею 4 x 4 може бути великим для комп'ютера IBM. Я спробував меншу іграшкову версію алгоритму за посиланням arXiv 1302.1210 Розв’язування систем лінійних рівнянь

Я трохи пояснив цю схему тут на stackexchange: /cs/76525/could-a-quantum-computer-perform-linear-algebra-faster-than-a-classical-computer/ 77036 # 77036

На жаль, це лише 1 кубітний вхід з матрицею A = 2 x 2, у відповіді наведено посилання на ланцюг IBM.