Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 2 - Що таке ?

^{Це продовження квантового алгоритму для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 1 - Плутанина щодо використання алгоритму фазової оцінки та алгоритму Квантових лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 1 - Кількість необхідних кубітів} .

У статті: Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) , що записано до частини

Наступний крок - розкласти в основі власного вектора, використовуючи оцінку фаз [5–7]. Позначимо через власні вектори (або, що еквівалентно, ), а відповідні власні значення. $|b\rangle$ $|u_j\rangle$ $A$ $e^{iAt}$ $\lambda_j$

на сторінці має для мене певний сенс (плутанини до тих пір, поки не було вирішено в попередніх посиланнях, пов’язаних вище). Однак наступна частина, тобто обертання здається дещо виразною. $2$ $R(\lambda^{-1})$

Нехай
$| Ψ_{0} ⟩ := \sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩$ $|\Psi_0\rangle := \sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$
в протягом деякого великого . Коефіцієнти вибираються (слідуючи [5-7]) для мінімізації певної функції квадратичних втрат, яка відображається в нашому аналізі помилок (детальніше див. [13]). $T$ $|\Psi_0\rangle$

Далі застосовуємо умовну гамільтонову еволюцію на , де . $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $t_0 = \mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

Запитання:

1. Що саме таке ? Що означають і ? Я не маю уявлення, звідки цей гігантський вираз раптом походить і в чому його використання. $|\Psi_0\rangle$ $T$ $\tau$

\sqrt{\frac{2}{T}} \sum_{τ = 0}^{T - 1} \sin \frac{π (τ + \frac{1}{2})}{T} | τ ⟩

$\sqrt{\frac{2}{T}}\sum_{\tau =0}^{T-1} \sin \frac{\pi(\tau+\frac{1}{2})}{T}|\tau\rangle$

2. Після етапу оцінки фази стан нашої системи очевидно :

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩ \otimes | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Це, безумовно, не може бути записано як тобто

(\sum_{j = 1}^{j = N} β_{j} | u_{j} ⟩) \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$\left(\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\right)\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

| b ⟩ \otimes (\sum_{j = 1}^{j = N} | {\tilde{λ}}_{j} ⟩) \otimes | 0 ⟩_{ancilla}

$|b\rangle\otimes \left(\sum_{j=1}^{j=N}|\tilde\lambda_j\rangle\right)\otimes |0\rangle_{\text{ancilla}}$

Отже, зрозуміло, що недоступно окремо у другому реєстрі. Тож я не маю уявлення, як вони готують такий стан, як ! Крім того, що позначає цей у ? $|b\rangle$ $|\Psi_0\rangle^{C}\otimes |b\rangle$ $C$ $|\Psi_0\rangle^{C}$

3. Звідки цей вираз раптом з'являється? Яка користь від моделювання? А що таке в ? $\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ $\kappa$ $\mathcal{O}(\kappa/\epsilon)$

algorithm hhl-algorithm hamiltonian-simulation

— Санчаян Дутта
джерело

Відповіді:

1. Визначення

Імена та символи, які використовуються у цій відповіді, відповідають тим, які визначені в алгоритмах лінійних квантових систем: праймер (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) . Відкликання робиться нижче.

1.1 Зареєструйте імена

Імена регістрів визначені на рисунку 5. алгоритмів квантових лінійних систем: праймер (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (відтворено нижче):

$S$ (1 кубіт) - це регістр додатків, який використовується для перевірки, чи дійсний вихід чи ні.
$C$ ( кубітів) - це тактовий регістр, тобто регістр, який використовується для оцінки власних значень гамільтоніана за допомогою квантової фазової оцінки (QPE). $n$
$I$ ( кубіти) - це регістр, що зберігає праву частину рівняння . Він зберігає , результат рівняння, коли вимірюється як в кінці алгоритму. $m$ $Ax = b$ $x$ $S$ $\left|1\right>$

2. Про : $\left|\Psi_0\right>$

Що саме ? $\left|\Psi_0\right>$

$\left|\Psi_0\right>$ є одним з можливого початкового стану синхронізації регістра . $C$
Що означають і ? $T$ $\tau$

$T$ означає велике додатне ціле число. Цей повинен бути максимально великим, оскільки вираження асимптотики мінімізує задану помилку для зростання до нескінченності. У вираженні , буде , то число можливих станів для квантових годин . $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $\left|\Psi_0\right>$ $T$ $2^n$ $C$

$\tau$ - лише індекс підсумовування
Чому такий гігантський вираз для ? $\left|\Psi_0\right>$

Детальне пояснення див. У публікації DaftWullie .

Дотримуючись цитатів у квантовому алгоритмі для лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v3), ми закінчуємо:
1. Попередня версія того ж паперового квантового алгоритму для лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009 v2) . Автори переглянули документ 2 рази (є 3 версії оригінального паперу HHL), а версія № 3 не включає всю інформацію, надану в попередніх версіях. У V2 (розділ A.3., Починаючи зі сторінки 17) автори надають детальний аналіз помилок із цим спеціальним початковим станом.
2. Оптимальні квантові годинники (Buzek, Derka, Massar, 1998), де вираз в рівнянні 10. задано як Я не маю знань зрозуміти цілком цю частину, але здається, що цей вираз є "оптимальним" в якомусь сенсі. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_{opt}\right>$

3. Підготовка : $\left|\Psi_0\right>$

Як сказано в попередній частині, - це початковий стан. Вони не готуються після процедури оцінки фази. Впорядкування пропозицій не є справді оптимальним у статті. Процедура оцінки фаз, яку вони використовують у роботі, трохи відрізняється від "класичного" алгоритму оцінювання фаз, представленого у квантовій схемі, пов'язаній у частині 1, і тому вони пояснюють це докладно. $\left|\Psi_0\right>$ $\left|\Psi_0\right>$

Алгоритм їх оцінки фаз:

Приготуйте стан в регістрі . $\left|\Psi_0\right>$ $C$
Застосуйте умовну гамільтонову еволюцію до регістрів і (які знаходяться в стані ). $C$ $I$ $\left|\Psi_0\right>\otimes \left|b\right>$
Застосуйте квантове перетворення Фур'є до отриманого стану.

Нарешті, в означає, що стан зберігається в регістрі . Це коротка та зручна позначка для відстеження використаних регістрів. $C$ $\left| \Psi_0 \right>^C$ $\left| \Psi_0 \right>$ $C$

4. Гамільтонове моделювання:

Перш за все, є умовою номер ( Wikipedia сторінка на «обумовленості» ) матриці . $\kappa$ $A$

$\sum_{\tau = 0}^{T-1}|\tau\rangle \langle \tau|^{C}\otimes e^{iA\tau t_0/T}$ - математичне представлення квантових воріт.

Перша частина суми є контрольною частиною. Це означає, що операція буде контролюватися станом першого квантового регістра (регістр як нам говорить експонент). $|\tau\rangle \langle \tau|^{C}$ $C$

Друга частина - ворота «моделювання Гамільтонів», тобто квантовий затвор, який застосує унітарну матрицю, задану до другого регістра (реєстр який знаходиться у початковому стані ). $e^{iA\tau t_0/T}$ $I$ $\left|b\right>$

Вся сума є математичним поданням керованої операції U в квантовому ланцюзі "1. Визначення", з . $U = e^{iA\tau t_0/T}$

— Неліме
джерело

$\newcommand{\bra}[1]{\left\langle#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right\rangle}\newcommand{\proj}[1]{|#1\rangle\langle#1|}\newcommand{\half}{\frac12}$ Відповідаючи на ваше перше запитання, я писав собі певні записки деякий час тому про своє розуміння того, як це працювало. Позначення, мабуть, дещо інше (я намагався привести його більше у відповідність, але біти легко пропустити), але намагається пояснити цей вибір стану . Також здається, що деякі фактори плавають місцями. $|\Psi_0\rangle$ $\frac12$

Коли ми вперше вивчаємо оцінку фази, ми зазвичай думаємо про це стосовно використання в якомусь конкретному алгоритмі, наприклад алгоритмі Шор. Це має конкретну мету: отримати найкраще бітове наближення до власного значення. Ви або робите, або ні, і опис оцінки фази спеціально налаштований, щоб дати якомога більшу ймовірність успіху. $t$

У HHL ми намагаємося створити деякий стан де , використовуючи оцінку фаз. Точність наближення цього набагато критичніше залежатиме від точної оцінки власних значень, близьких до 0, а не тих, які далекі від 0. Очевидним кроком є спроба змінити протокол оцінки фази так, щоб ніж для використання «бункерів» фіксованої ширини для наближення фаз ( і - кількість кубітів у регістрі оцінки фаз), ми можемо скоріше вказати набір для

| ϕ ⟩ = \sum_{j} \frac{β_{j}}{λ_{j}} | λ_{j} ⟩,

$\ket{\phi}=\sum_j\frac{\beta_j}{\lambda_j}\ket{\lambda_j},$

| b ⟩ = \sum_{j} β_{j} | λ_{j} ⟩

$\ket{b}=\sum_j\beta_j\ket{\lambda_j}$

2 π / T

$2\pi/T$

e^{- i A t}

$e^{-iAt}$

T = 2^{t}

$T=2^t$

t

$t$

ϕ_{y}

$\phi_y$

y \in {0, 1}^{t}

$y\in\{0,1\}^t$ щоб виступати центром кожного контейнера, щоб ми могли значно збільшити точність, близьку до 0 фази. Більш загально, ви можете вказати компромісну функцію для того, наскільки терпими ви можете бути до помилок як функції фази . Точний характер цієї функції потім може бути налаштований на дану програму, та конкретну оцінку, яку ви використаєте для визначення успіху. Що стосується алгоритму Шора, то наша заслуга полягала в тому, що цей протокол бінінгу - ми були успішними, якщо відповідь була в правильному біні та невдала поза ним. Це не відбудеться в HHL, чий успіх більш обґрунтовано сприймається безперервним заходом, таким як вірність. Отже, для загального випадку ми позначимо функцію витрат

ϕ

$\phi$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$ який визначає штраф за відповіді якщо справжня фаза - .

ϕ^{'}

$\phi'$

ϕ

$\phi$

Нагадаємо, що стандартний протокол оцінки фази працював, створюючи вхідний стан, який був рівномірним суперпозицією всіх базових станів для . Цей стан було використано для керування послідовним застосуванням декількох воріт з контрольованим , за якими слідує зворотне перетворення Фур'є. Уявіть, що ми могли б замінити вхідний стан на якийсь інший стан і тоді решта протоколу могла б працювати, як раніше. Зараз ми будемо ігнорувати питання про те, як важко створити новий стан , оскільки ми просто намагаємось передати основну концепцію. Починаючи з цього стану, використання керованого $\ket{x}$ $x\in\{0,1\}^t$ $U$

| Ψ_{0} ⟩ = \sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} | x ⟩,

$\ket{\Psi_0}=\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_x\ket{x},$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

U

$U$ ворота (орієнтований на власний вектор власного значення ), створює стан Застосування зворотного перетворення Фур’є дає Ймовірність отримання відповіді (тобто ) - тому очікуване значення функції вартості, припускаючи випадковий розподіл , становить

U

$U$

ϕ

$\phi$

\sum_{x \in {0, 1}^{t}} α_{x} e^{i ϕ x} | x ⟩ .

$\sum_{x\in\{0,1\}^t}\alpha_xe^{i\phi x}\ket{x}.$

\frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{x, y \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{M})} α_{x} | y ⟩ .

$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{x,y\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{M}\right)}\alpha_x\ket{y}.$

y

$y$

ϕ^{'} = 2 π y / T

$\phi'=2\pi y/T$

\frac{1}{T} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2}

$\frac{1}{T}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2$

ϕ

$\phi$

\bar{C} = \frac{1}{2 π T} \int_{0}^{2 π} d ϕ \sum_{y \in {0, 1}^{t}} {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x (ϕ - \frac{2 π y}{T})} α_{x} |}^{2} C (ϕ, 2 π y / T),

$\bar C=\frac{1}{2\pi T}\int_0^{2\pi}d\phi\sum_{y\in\{0,1\}^t}\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\left(\phi-\frac{2\pi y}{T}\right)}\alpha_x\right|^2C(\phi,2\pi y/T),$ і наше завдання - вибрати амплітуди які мінімізують це для будь-якої конкретної реалізації . Якщо ми зробимо спрощене припущення, що є лише функцією , то ми можемо зробити зміну змінної в інтеграції, щоб дати Як ми зазначали, найбільш корисним заходом, ймовірно, буде мір вірності. Подумайте, у нас є стан

α_{x}

$\alpha_x$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

C (ϕ, ϕ^{'})

$C(\phi,\phi')$

ϕ - ϕ^{'}

$\phi-\phi'$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} C (ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2C(\phi),$

| + ⟩

$\ket{+}$ і ми хочемо реалізувати унітарну , але натомість реалізуємо . Вірність вимірює, наскільки добре це досягає бажаного завдання, тому беремо оскільки в ідеальному випадку , тому помилка, яку ми хочемо мінімізувати, може сприйматися як . Це, безумовно, буде правильною функцією для оцінки будь-якого

U_{ϕ} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_\phi=\proj{0}+e^{i\phi}\proj{1}$

U_{ϕ^{'}} = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ^{'}} | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$U_{\phi'}=\proj{0}+e^{i\phi'}\proj{1}$

F = {| ⟨ + | U_{ϕ^{'}}^{†} U | + ⟩ |}^{2} = \cos^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$F=\left|\bra{+}U_{\phi'}^\dagger U\ket{+}\right|^2=\cos^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

C (ϕ - ϕ^{'}) = \sin^{2} (\frac{ϕ - ϕ^{'}}{2}),

$C(\phi-\phi')=\sin^2\left(\frac{\phi-\phi'}{2}\right),$

F = 1

$F=1$

1 - F

$1-F$

U^{t}

$U^t$ , але для більш загального завдання модифікації амплітуд, а не лише фаз, наслідки неточностей поширюються через протокол менш тривіально, тому важко довести оптимальність, хоча функція вже забезпечить певне поліпшення щодо рівномірного суперпозиції станів. Виходячи з цієї форми, у нас є інтеграл над може виконуватися, тому ми хочемо мінімізувати функцію Це можна коротко виразити як

C (ϕ - ϕ^{'})

$C(\phi-\phi')$

\bar{C} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d ϕ {| \sum_{x \in {0, 1}^{t}} e^{i x ϕ} α_{x} |}^{2} \sin^{2} (\frac{1}{2} ϕ),

$\bar C=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\left|\sum_{x\in\{0,1\}^t}e^{ix\phi}\alpha_x\right|^2\sin^2\left(\half\phi\right),$

ϕ

$\phi$

\frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} α_{x} α_{y}^{⋆} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) .

$\half\sum_{x,y=0}^{T-1}\alpha_x\alpha_y^\star(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1}).$

min ⟨ Ψ_{0} | H | Ψ_{0} ⟩

$\min\bra{\Psi_0}H\ket{\Psi_0}$ де Оптимальний вибір - мінімальний власний вектор матриці , і - мінімальне власне значення Кардинально, при великому , ваги , як , а не , що ми отримали б від рівномірного зчеплення вибору

H = \frac{1}{2} \sum_{x, y = 0}^{T - 1} (δ_{x, y} - \frac{1}{2} δ_{x, y - 1} - \frac{1}{2} δ_{x, y + 1}) | x ⟩ ⟨ y | .

$H=\half\sum_{x,y=0}^{T-1}(\delta_{x,y}-\half\delta_{x,y-1}-\half\delta_{x,y+1})\ket{x}\bra{y}.$

| Ψ_{0} ⟩

$\ket{\Psi_0}$

H

$H$

α_{x} = \sqrt{\frac{2}{T + 1}} \sin (\frac{(x + 1) π}{T + 1}),

$\alpha_x=\sqrt{\frac{2}{T+1}}\sin\left(\frac{(x+1)\pi}{T+1}\right),$

\bar{C}

$\bar C$

\bar{C} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (\frac{π}{T + 1}) .

$\bar C=\half-\half\cos\left(\frac{\pi}{T+1}\right).$

T

$T$

\bar{C}

$\bar C$

1 / T^{2}

$1/T^2$

1 / T

$1/T$

α_{x} = 1 / \sqrt{T}

$\alpha_x=1/\sqrt{T}$ . Це дає значну користь для аналізу помилок.

Якщо ви хочете отримати той самий як повідомлено у документі HHL, я вважаю, що ви повинні додати умови до гамільтоніана. Однак я не маю виправдання для цього, але це, мабуть, моя недоля. $|\Psi_0\rangle$ $-\frac14\left(\ket{0}\bra{T-1}+\ket{T-1}\bra{0}\right)$

— DaftWullie
джерело

Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 2 - Що таке ?

Запитання:

1. Визначення

1.1 Зареєструйте імена

2. Про :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

3. Підготовка :|Ψ0⟩|Ψ0⟩\left|\Psi_0\right>

4. Гамільтонове моделювання:

2. Про : $\left|\Psi_0\right>$

3. Підготовка : $\left|\Psi_0\right>$