Як реалізувати експозицію матриці в квантовому контурі?

Можливо, це наївне запитання, але я не можу зрозуміти, як насправді експоненцію матриці в квантовому контурі. Якщо я хочу отримати загальну квадратну матрицю A , якщо я хочу отримати її експоненцію, $e^{A}$ , я можу використовувати серію

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Мати його наближення. Я не розумію, як це зробити за допомогою квантових воріт, а потім застосувати його, наприклад, для виконання гамільтонового моделювання. Дехто допомагає?

— FSic
джерело

Незрозуміло, чи говорите ви про квантовий ланцюг, який займає

A

$A$ як вхід і вихід

e^{A}

$e^A$ або Гамільтонове моделювання (тобто побудувати схему, унітарна матриця якої відповідає

e^{i A}

$e^{iA}$ ).

— Неліме

Моє ліжко; що я мав на увазі, це, взявши матрицю А, я хочу мати в моєму ланцюзі її експоненціальну форму,

e^{i A}

$e^{iA}$ .

— FSic

Переформулювання вашого питання:

Як виконати моделювання гамільтонів для загальної квадратної матриці $A$ ?

Швидка відповідь : це неможливо.

Мета моделювання Гамільтонів (HS) - знайти квантовий контур (тобто послідовність воріт), який діє як $U(t) = e^{-iAt}$ про квантовий стан. Ось $U(t)$ потребує унітарності (через властивості квантових воріт) тощо $e^{-iAt}$ також має бути унітарним.

Отже алгоритм HS застосовний лише до матриць $A$ такий як $e^{-iAt}$ є унітарним. Кожна германська матриця задовольняє цю властивість, але не кожна generic square matrix. Залежно від вашої проблеми, це обмеження може бути, а може не бути проблемою, але ви не можете використовувати HS, якщо $e^{-iAt}$ не є унітарним.

Наприклад, для алгоритму HHL (для якого використовують HS of $A$ як підпрограма) із системою $Ax=b$ , якщо $e^{-iAt}$ не є унітарним, ви можете замість цього розглянути проблему

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ вирішити це за допомогою HHL (що зараз можливо через нову матрицю

C

$C$ є гермітом) і одужає

x

$x$ .

Тож цікаве питання зараз:

Як виконати моделювання гамільтонів для заданої ермітової матриці $A$ ?

І відповідь буде залежати від властивостей $A$ .

Це величезна дослідницька тема, і на неї можна багато чого сказати. Я не буду представляти тут всі методи, оскільки вони досить складні, і я їх не зрозумів усіх. Ось перелік робіт / презентацій, які стосуються HS, і які можуть бути цікаві для початку з HS:

Моделювання гамільтонової динаміки на невеликому квантовому комп'ютері : слайди про HS. Навіть якщо це презентація, це найповніше джерело, яке я знайшов у моделюванні Гамільтонів. Тут швидко представлені 3 різні методи та цитуються цікаві статті для кожного методу.
Примітки до лекцій з квантових алгоритмів (Ендрю М. Чайлдс, 2017) : останні та доволі повноцінні. ЗГ обговорюється в главі 25 (стор. 123).
Експонентне підвищення точності моделювання розріджених гамільтоніан : детально представлений один із 3-х методів, представлених у 1.
Ефективні квантові алгоритми для моделювання розріджених гамільтонів : детально представлений ще один із 3-х методів, представлених у 1.

— Неліме
джерело

Дякую, особливо за довідки, я погляну на них!

— FSic

Я рекомендую почати з першої посилання. Це найповніше, і воно дає посилання на інші статті. Для мене (особиста точка зору) перша методика з використанням формули Троттера-Сузукі є найбільш зрозумілою. Але це може бути для вас не однаково!

— Неліме

Кожна герматична матриця задовольняє цю властивість : точніше, всі та лише ермітові матриці мають цю властивість

— glS