^{Примітка до лексики: слово "гамільтонієць" використовується в цьому питанні, щоб говорити про герматичні матриці.}

Алгоритм HHL, здається, є активним предметом досліджень у галузі квантових обчислень, здебільшого тому, що він вирішує дуже важливу проблему, яка полягає у пошуку рішення лінійної системи рівнянь.

Відповідно до оригінального паперового квантового алгоритму для розв’язання лінійних систем рівнянь (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) та деяких питань, заданих на цьому сайті

• Квантова оцінка фаз та алгоритм HHL - необхідні знання про власні значення?
• Квантовий алгоритм для лінійних систем рівнянь (HHL09): Крок 2 - Підготовка початкових станів і | б $\vert \Psi_0 \rangle$$\vert b \rangle$

алгоритм HHL обмежений деякими конкретними випадками. Ось підсумок (який може бути неповним!) Характеристик алгоритму HHL:

Алгоритм HHL

Алгоритм HHL розв'язує лінійну систему рівняння з наступними обмеженнями:

Обмеження щодо :$A$

• повинні бути ермітовим (і тільки ермітова матриця робіт, дивцього обговорення в чаті).$A$
• Власні значення A повинні бути в [ 0 , 1 ) (див.Квантову оцінку фази та алгоритм HHL - потрібні знання про власні значення?)$A$$[0,1)$
• повинна бути ефективно здійсненною. На даний момент єдиними відомими матрицями, які задовольняють цю властивість, є: $e^{iAt}$
  • місцеві гамільтоніани (див. Універсальні квантові симулятори (Lloyd, 1996) ).
  • -різкі гамільтоніани (див.Адіабатичний квантовий стан генерування танульовізнання статистики (Aharonov & Ta-Shma, 2003)).$s$

Обмеження на :$\vert b \rangle$

• повинні бути ефективно получаютсом. Це стосується: $\vert b \rangle$
  1. Конкретні вирази . Наприклад держава | б ⟩ = п ⨂ я = 0 ( | 0 ⟩ + | 1 $\vert b \rangle$ ефективно готується. $$\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$$
  2. , що представляє Дискретизація з ефективно інтегрованим розподілом ймовірностей (дивСтворення накладеньякі відповідають ефективно інтегруються імовірнісних розподілів (Grover & Rudolph, 2002)).$\vert b \rangle$

Обмеження на (вихід):$\vert x \rangle$

• $\vert x \rangle$$\vert x \rangle$ $$\langle x\vert M\vert x \rangle$$

Запитання: Беручи до уваги всі ці обмеження і уявляючи, що ми знаходимося у 2050 році (а може, у 2025 році, хто знає?) З великомасштабними квантовими мікросхемами, які мають стійкі до відмов (тобто, ми не обмежені апаратним забезпеченням), які реальні проблеми Чи може алгоритм HHL вирішити (включаючи проблеми, коли HHL використовується лише як підпрограма)?

Мені відомий документ « Конкретний аналіз ресурсів алгоритму квантової лінійної системи, який використовується для обчислення перерізу електромагнітного розсіювання двовимірної цілі (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016) та відповідної реалізації в мова програмування Quipper і я шукаю інші приклади реального світу , де HHL б бути застосована на практиці. Мені не потрібен опублікований папір, навіть не опублікований папір, я просто хочу мати приклади реальних випадків використання.

Редагувати:

Навіть якщо мене цікавлять усі випадки використання, я б віддав перевагу прикладам, де HHL безпосередньо використовується, тобто не використовується як підпрограма іншого алгоритму.

Мене ще більше цікавлять приклади лінійних систем, що є результатом дискретизації диференціального оператора, який можна було б вирішити за допомогою HHL.

Але дозвольте ще раз підкреслити, що мене цікавлять усі випадки використання (підпрограми чи ні), про які ви знаєте .

Пару років тому Монтанаро і Паллістер показали в квантових алгоритмах та методі кінцевих елементів, що алгоритм HHL може бути застосований до методу кінцевих елементів (FEM), який є "технікою ефективного пошуку числових наближень до розв'язків граничної величини" задачі (БВП) для часткових диференціальних рівнянь, засновані на дискретизації простору параметрів через кінцеву сітку " .

Вони показали, що в цьому контексті HHL можна використовувати для досягнення (можливо, щонайбільше) прискорення полінома над стандартним класичним алгоритмом ("метод спряженого градієнта").

Що стосується реальних випадків використання, вони констатують це

$n$

$A$

Ребентрост та ін. нещодавно застосував алгоритм HHL09 у своїй роботі A Quantum Hopfield Neural Network (2018) для оптимізації енергетичної функції мережі Hopfield .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$$Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

Коротше кажучи, я вважаю, що коли ми маємо квантові комп’ютери з достатньо великою кількістю кубітів та часу декогерентності, алгоритм HHL стане однією з найкорисніших підпрограм для будь-якого алгоритму квантового машинного навчання (оскільки майже все машинне навчання та нейронна мережа алгоритми передбачають певну форму "градієнтного спуску" або "оптимізації").