Перевага імітації розріджених гамільтонів

У відповіді @ DaftWullie на це питання він показав, як зобразити в квантових воротах матрицю, використану як приклад у цій статті . Однак я вважаю, що навряд чи матимуть такі добре структуровані матриці на прикладах реального життя, тому я намагався розглянути інші методи моделювання гамільтоніана. Я знайшов у кількох статтях посилання на цю Ахаронова та Та-Шму, в якій, серед іншого, вони стверджують, що можна мати певну перевагу в імітації розріджених гамільтоніанів. Однак, прочитавши статтю, я не зрозумів, як можна виконати моделювання розріджених гамільтоніанів. Зазвичай ця проблема подається як графічне забарвлення, однак також дивлячись на презентацію які @Nelimee запропонував прочитати для вивчення матричної експоненції, і все це падає зменшення силимуляції за допомогою формули продукту.

Для прикладу візьмемо випадкову матрицю на зразок:

це не ерміти, але, використовуючи пропозицію від Харроу, Хассідіма та Ллойда, ми можемо побудувати гермітичну матрицю, починаючи з неї:

А = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & А \\ А^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Тепер, коли я маю матрицю 8x8, 2-розріджені герміти:

Чи можу я моделювати її еволюцію іншими способами, ніж метод формули продукту?
Навіть якщо я використовую формулу продукту, як я можу використати той факт, що він рідкий? Це лише тому, що є менше ненульових записів, і тому слід легше знайти добуток основних воріт?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
джерело

Прозріння, що дозволяє припустити, що розріджені матриці є корисними, йде за лініями: для будь-якої ми можемо її розкласти через множину , окремі компоненти якої комутуються (робить діагоналізацію прямо), Якщо матриця є рідкою, то вам не повинно бути занадто багато чітких . Тоді ви можете змоделювати емісію гамільтонів $H$ $H_i$

Н = \sum_{i = 1}^{м} Н_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

де

. Наприклад, у вашому випадку ви можете мати

е^{- i Н т} = \prod_{j = 1}^{N} е^{- i Н_{м} δ т} е^{- i Н_{м - 1} δ т} \dots е^{- i Н_{1} δ т},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

(3 члени, що відповідають тому, що це 3-розрядний гамільтоніан). Я вважаю, що тут є стратегія: ви переглядаєте всі ненульові матричні елементи вашого гамільтоніана і групуєте їх так, що якщо я запишу їх координати як

(і я завжди включаю їх складну сполучену пару), я продовжую додавати інші елементи мого набору

не забезпечували ні

ні

рівних

Н_{1} = \frac{1}{4} Х \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$ або

.. Це означало б для

розрізненого гамільтониана, у вас є

різні

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Проблема полягає в тому, що це не обов'язково спрацьовує це прямо на практиці. З одного боку, є ще багато експоненціально матричних елементів, які вам доведеться пройти, але це завжди так, як ви його налаштовуєте.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ , then if the post-selection succeeds, we have implemented

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$ , which happens with a probability at least

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$ . You can do exactly the same with multiple terms, and indeed with exponentials of Hamiltonians (think about the series expansion), although in practice some better series expansions are used based on Bessel functions.

— DaftWullie
джерело

Just 2 things that I did not understand: 1) what do you mean when you say that you always include the complex conjugate pairs? 2) The knowledge of the position provided by the oracle should help us in which way? By helping us determine the set of unitaries representing the decomposed Hamiltonian?

— FSic

@F.Siciliano (2) The knowledge from the oracle helps because it lets you work through only the non-zero elements of the matrix instead of having to go through every element of the matrix to find out which ones are non-zero.

— DaftWullie

@F.Siciliano (1) Since

H

$H$ is Hermitian, if you know element (i,j) has value

h_{i j}

$h_{ij}$ then you know element

(j, i)

$(j,i)$ has value

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$ . You also know that you have to include it in the same Hamiltonian terms when you split it up because those

h_{i}

$h_i$ terms have to be Hermitian as well.

— DaftWullie