Квантовий алгоритм для Божого числа

Боже число - це найгірший випадок Божого алгоритму, який є

поняття, що бере початок в обговоренні способів розгадування загадки Рубака Куб, але яке також може бути застосоване до інших комбінаторних головоломок та математичних ігор. Він посилається на будь-який алгоритм, який виробляє рішення, що має найменші можливі кроки, ідея полягає в тому, що всезнаюча істота буде знати оптимальний крок з будь-якої заданої конфігурації.

Якщо обчислити число Бога на 20, потрібно "35 процесорних років простою (класичного) часу на комп'ютері".

Якої швидкості можна досягти за допомогою квантового підходу?

— meowzz
джерело

«Боже число» для комбінаторних головоломок пов’язане з діаметром графіка, що нагадує Кейлі, тобто найбільшого найменшого шляху в графі. Я не думаю, що узагальнена проблема до проблеми

n \times n \times n

$n\times n \times n$ загадки в

N P

$\mathsf{NP}$ . Я не вивчав цю статтю - arxiv.org/abs/quant-ph/0303131 - але я думаю, що вона стверджує, що швидкість Grover перевищує класичну.

— Марк S

@mark s chat.stackexchange.com/rooms/81283/quantum

— meowzz

Ви можете задати подібне запитання для всього, що важко обчислити. Це здається не дуже конструктивним. Чому ви думаєте, що ця конкретна проблема може зацікавити квантові алгоритми wrt?

— Норберт Шуч

@Norbert Schuch Я кублюю і виконую квантові обчислення. Це дійсно цікава проблема для мене (і я б подумав, щоб хтось інший зацікавився квантовою комбінаторною оптимізацією).

— meowzz

Дивіться також mathoverflow.net/questions/77836/… з сестринського сайту.

— Марк S

Ми можемо придумати графік куба Рубіка Кейлі $\Gamma=(V,E)$ з кожним (кольоровим) краєм $E$ будучи одним із кроків Сингмастера $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ і кожна вершина $V$ будучи одним із $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ різні конфігурації $3\times 3\times 3$ кубики.

Діаметр графа найдовший шлях , короткий в графіку. Класичний алгоритм визначення діаметра є многочлена в $\vert V \vert$ ; див., наприклад, цю відповідь із сестринського сайту.

Як було сказано вище, число Бога є (пов'язане) з цим діаметром; щоб знати найдовший найкоротший шлях між вершинами для графіка Кейлі на групі, досить знати, скільки кроків від розв’язаного стану. Ми знаємо, завдяки Рокіцькому, Коціембі, Девідсону та Детріджу серед інших, що це число Бога $20$ . Алгоритми, які вони виконували, були багаточленними $\vert V\vert$ , напр. многочлен в $4.3e{19}$ .

Квантовий алгоритм Хайлігмана для діаметра графіка, згаданий у коментарях, досягає прискорення Гровера над алгоритмами Джикстра, "загальною квантовою вартістю $O(|V|^{9/4})$ "Однак я вважаю, що Хайлігман кодує графік так само, як і класичний алгоритм; $O(|V|)$ кубіти. Зрозуміло, що якщо $|V|=4.3e{19}$ тоді це не допомогло б.

Натомість, інший спосіб кодування кубика Рубіка, як натякано в інших питаннях, - це, звичайно, підготувати рівномірний суперпозицію над усіма $4.3e{19}$ держав. Це лише займає $\log 4.3e{19}$ кубіти.

Квантові алгоритми добре розмовляють про "власні значення" та "власні вектори" та "власні величини". Застосування всіх Singmaster рухається до рівномірного суперпозиції всіх $4.3e{19}$ держави не змінює державу; тобто рівномірний суперпозиція є власним станом ланцюга Маркова на графіку Кейлі.

Існують співвідношення між діаметром графіка та власними значеннями / власними векторами відповідної матриці суміжності / Лаплаціана, особливо спектральним зазором, відстані між двома найбільшими власними значеннями ( $\lambda_1-\lambda_2$ ). Швидкий пошук в Google "власного значення діаметра" призводить до цього ; Я рекомендую вивчити подібні пошукові запити Google.

Спектральні прогалини - це саме те , що обмежує адіабатичний алгоритм . Таким чином, можливо, знаючи, наскільки швидко потрібен адіабатичний алгоритм, щоб перетворитись від рівномірного суперпозитону до вирішеного стану для різних підгруп / підпросторів кубової групи Рубіка, можна було б оцінити спектральний розрив і використати це для обмеження Божого числа. Але я швидко виходжу з своєї ліги і сумніваюся, що будь-яке почуття точності досяжне.

— Марк S
джерело

По-перше, дякую за відмінну відповідь. Мені дуже цікаво дізнатися більше про спектральні розриви та діабатичні процеси. Чи знаєте ви щось про кубічні графіки ? Також чи знаєте ви щось про сюрреалістичні числа (конкретно прогалини )? Також у вас є думки щодо корпусу 2x2? Або випадок nxn (для

3 < n

$3<n$ )?

— meowzz

@meowzz, ласкаво просимо. Вибачте, що нічого не знаю про сюрреалістичні числа чи підкубні графіки. Графік Кейлі вище не є кубічним і має валентність

18

$18$ Я думаю (

6

$6$ обличчя та чверть, половину чи три чверті ходу на обличчя). Про

n \times n

$n\times n$ випадку, те саме мислення застосовується ... вимірюйте, як довго

τ_{n}

$\tau_n$ адіабатичний алгоритм повинен перетворитись у вирішений стан та використовувати відношення між

τ_{n}

$\tau_n$ і

λ_{2}

$\lambda_2$ для обмеження спектрального зазору і обмеження діаметра

δ

$\delta$ з відношенням між

λ_{2}

$\lambda_2$ і

δ

$\delta$ ...

— Марк S

Читаючи відповідь, ще не зовсім зрозуміло: «Якої швидкості можна досягти за допомогою квантового підходу?».

— JanVdA

@JanVdA Дякуємо за ваш коментар Я ніколи не стверджував, що знаю всі деталі у відповіді на жирне запитання. Я просто намагався дати відгук про підходи, які, можливо, варто вивчити більше, а також злегка протистояти черговому коментарю у питанні. Також хтось дуже вітав подібне запитання від мене.

— Марк S