Як можна використовувати квантовий комп'ютер для вирішення часткових диференціальних рівнянь?

12

Скажіть, у вас є PDE, який ви хочете вирішити.

Які квантові алгоритми ви б використали для її вирішення? Як ми вводимо нашу проблему на квантовий комп'ютер? Яким буде результат і в якій формі?

Я знаю, що квантові алгоритми для вирішення лінійних систем (часто їх називають HHL, але насправді це неправильна назва, оскільки інші версії не від авторів HHL) були перелічені раніше, але, можливо, там існують інші методи. Крім того, як це розглядається як підпрограма, вихід є квантовим, і, якщо ви не хочете статистика з нього або використовувати її як вхід іншого квантового алгоритму, він обмежує.

algorithm

— Канада
джерело

Наскільки загальним ви хочете бути PDE? Це лінійно?

— Ахусей

Якщо у вас є різні налаштування PDE, я хотів би знати для кожного. Скажіть, наприклад, лінійне, наприклад, тому що я думаю, що нелінійне може бути складніше.

— Канада

6

Я не маю точної відповіді на ваше запитання (якщо воно дійсно існує); але я можу відповісти на частину вашого питання, що стосується вводу / виводу, квантовому процесору.

Як загальне правило: Квантові алгоритми (в даний час) не можуть дати прямих відповідей на твердження проблеми. Принаймні поки що квантові процесори існують як неоднорідні прискорювачі з класичною обчислювальною одиницею. "Квантовий прискорювач" стосується лише тієї частини загального алгоритму, яку не тривіально (або експоненціально за складністю) вирішити на класичному комп'ютері. Зрештою, на квантовому процесорі фактично обчислюється лише підрозділ програми. (Наприклад, алгоритм факторизації Шора - це насправді алгоритм пошуку періоду. Пошук періоду - це нетривіальна задача.)

Серед кількох інших причин, головною проблемою є операція вводу та виведення з квантовим процесором. Проблема "повинна" бути виразною у стислій формі (наприклад, рівняння). Це рівняння виражається як квантовий контур у «оракулі», який стосується насамперед вирішення рівняння та записуються результати вимірювання (томографія). Висновок теж потрібен післяобробці, щоб насправді мати сенс (що знову виконується класичним колегою).

ps Мені б дуже цікаво дізнатися більше про квантові алгоритми вирішення PDE; якщо є ефективний.

— віліяр
джерело

Я розумію "загальну" точку зору. Мені просто не банально, як ми моделюємо рішення PDE на квантовому комп'ютері. Це прямо в HHL, тому що ваша проблема може бути виражена як лінійна система Ax = f, коли ви робите дискретизацію. Ви просто висловите свій f як квантовий стан (ваш перший вхід), використовуйте A в ермітській формі для оцінки фази, наприклад (другий вхід), і використовуючи підпрограму, яка використовує керовані обертання та нерозрахунки (принаймні для оригінальної версії HHL ) у вас є вихід як квантовий стан.

— Канада

Це стає якимось ефективним у розмірі задачі, оскільки ви використовуєте експоненціальну розмірність простору Гільберта для кодування в амплітудах ймовірності хвильової функції.

— Канада

Але мені було б цікаво, чи існують інші способи / алгоритми для PDE.

— Канада

4

Я натрапив на підхід до вирішення диференціальних рівнянь за допомогою квантового відпалу D-хвилі. Посилання тут: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Основний метод полягає в отриманні функціоналу енергії для диференціального рівняння, яке потім мінімізується на квантовому відпалювачі. Мінімізація може використовувати основу кінцевих елементів для відображення енергії на локалізованому під графіку машини D-хвиль.

Перевага цього в порівнянні з класичним алгоритмом полягає в тому, що немає потреби навіть будувати систему рівнянь, тому є економія пам’яті і дозволяє уникнути витрат на збірку лінійної системи. Однак складність рішення така ж, як і класичний метод градієнта спряжених: . Алгоритм HHL, з іншого боку, може давати експоненціальну швидкість, але, як ви вже сказали, рішення не дає прямо, плюс нам потрібно зібрати в першу чергу лінійну систему. $\mathcal{O}(n)$

— Джеремі
джерело

1

Привіт, Джеремі! Відповідно до цього потоку та інших наукових праць, метод спряженого градієнта - це не а скоріше із розрядністю матриці та її умовний номер.

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$

— Неліме