Значення операцій Кліффорда з точки зору виправлення квантових помилок

У літературі про QECC ворота Кліффорда займають підвищений статус.

Розглянемо такі приклади, які свідчать про це:

• Вивчаючи коди стабілізатора, ви окремо вивчаєте, як виконувати закодовані ворота Clifford (навіть якщо вони не застосовуються поперечно). Усі вступні матеріали про QECC наголошують на виконанні закодованих операцій Кліффорда на квантових кодах. І в іншому випадку, акцентуйте увагу на воротах Кліффорда (тобто, навіть коли не виконуються закодовані ворота Кліффорда в квантових кодах).

• Вся тема дистиляції магічного стану * ґрунтується на класифікації певних операцій (включаючи виконання воріт Кліффорда) як операцій з низькими витратами, виконуючи, наприклад, тофтолі-ворота або $\pi/8$-гейт, як операції з більш високими витратами.

Можливі відповіді:

1. Це було виправдано в певних місцях літератури, наприклад, докторська дисертація Готтсмана та багато його праць, а також https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . Причина, наведена в цих місцях, полягає в тому, що можна виконати деякі ворота Кліффорда поперечно (прототипічна операція з відмовою) на певних кодах стабілізатора. З іншого боку, непросто знайти поперечне застосування некліффордських воріт на квантових кодах. Я сам цього не перевірив, але я просто берусь за твердженнями, які Готтесман робить у докторантурі. дисертація та деякі оглядові статті.

Неможливість виконувати кодований затвор поперечно на квантовому коді негайно збільшує вартість виконання зазначеного шлюзу в коді. Отже, виконання воріт Clifford переходить у категорію недорогих, тоді як ворота, які не є Clifford, переходять у категорію високих витрат.

2. З інженерної точки зору, важливо визначитися зі стандартизованим переліком основних одиниць квантових обчислень (підготовка штату, ворота, вимірювання / спостереження / основа) тощо. Виконання воріт Кліффорда робить зручним вибором у цьому списку з кількох причин (Більшість відомих наборів універсальних квантових воріт включають в себе багато воріт Кліффорда, теорему Готтсмана-Кнілла ** тощо).

Це єдині дві причини, з яких я міг би подумати, чому група Кліффорда має такий підвищений статус у дослідженні QECC (особливо, коли ви вивчаєте коди стабілізатора). Обидві причини випливають з інженерної точки зору.

Тож питання полягає в тому, чи можна визначити інші причини, які не випливають з інженерної точки зору? Чи є якась інша головна роль, яку відіграють ворота Кліффорда, яку я пропустив?

Можлива інша причина: я знаю, що група Кліффорда є нормалізатором групи Паулі в унітарній групі (на $n$кубітні системи). Крім того, що вона має напівпряму структуру товару (фактично проективне зображення напівпрямої групи товарів). Чи самі ці відносини / властивості дають ще одну причину, чому варто вивчати групу Кліффорда у поєднанні з кодами стабілізатора?

* Не соромтеся це виправити. ** Що говорить, що обмежено певними операціями, ви не можете отримати квантову перевагу, а значить, вам потрібно трохи більше, ніж набір операцій, який ви спочатку обмежили.

Операції з Кліффордом часто легко виконувати відмовно в кодах стабілізатора, поперечно або за допомогою деформації коду. Причина саме в тому, як ви думали: особливий взаємозв'язок між цими воротами і Паулісом, оскільки останні використовуються для визначення кодів стабілізатора.

Можливо отримати ворота, що не є Кліффордом, у кодах, але ціну потрібно заплатити. Зокрема, існує взаємозв'язок між геометричною локальністю кодів і воротами, які вони можуть робити поперечно. Тож якщо вам дозволяється робити лише найближчі ворота з контрольованими сусідами на 2D-решітці (такі як поверхневий або кольоровий код), можливі лише Cliffords. Докладніше про це див. У таких документах.

Факт, що ми можемо очікувати відмових кліффордів від кодів стабілізатора, згодом поклав у основу методики синтезування універсальних наборів воріт. Отже, якщо є спосіб створити нестабільний стабілізований стан, закодований невідмовно, ми знаємо, як його очистити, використовуючи наші логічні Кліффорда. Щоб перетворити ці стани на обертання, ми використовуємо наші логічні кліффорди. Тож, якщо у вас є код і хочете застосувати всі ці нестандартні результати, краще знайдіть свої відмовні клієнти. Або, принаймні, Paulis, H і CZ чи CNOT, якщо ви не можете ними керувати.