Обчислення матриці Якобіа для зворотної кінематики

Обчислюючи матрицю Якобіана для розв'язання аналітичної інверсної кінематики, я читав з багатьох місць, що міг би використовувати цю формулу для створення кожного зі стовпців спілки в якобіанській матриці:

$$\mathbf{J}_{i}=\frac{\partial \mathbf{e}}{\partial \phi_{i}}=\left[\begin{array}{c}{\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime} \times\left(\mathbf{e}_{p o s}-\mathbf{r}_{i}^{\prime}\right)\right]^{T}} \\ {\left[\mathbf{a}_{i}^{\prime}\right]^{T}}\end{array}\right]$$

Таким, що - вісь обертання у світовому просторі, - точка зведення в світовому просторі, а - положення кінцевого ефектора у світовому просторі.$a'$$r'$$e_{pos}$

Однак я не розумію, як це може працювати, якщо в суглобах є більше одного DOF. Візьмемо як приклад:

є DOF обертання, то є кінцевий ефектор, то є метою кінцевого ефектора, в , і є суглоби.$\theta$$e$$g$$P_1$$P_2$$P_3$

По-перше, якщо я повинен був обчислити матрицю Якобіана на основі формули, наведеної вище для діаграми, я отримаю щось подібне:

$$J=\begin{bmatrix} ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ x } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ x } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ y } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ y } \\ ((0,0,1)\times \vec { e } )_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 1 } } ))_{ z } & ((0,0,1)\times (\vec { e } -\vec { P_{ 2 } } ))_{ z } \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

При цьому передбачається, що всі осі обертання дорівнюють і всі вони мають лише один обертовий DOF. Отже, я вважаю, що кожен стовпець призначений для одного DOF, у цьому випадку .$(0,0,1)$$\theta_\#$

Тепер ось проблема: Що робити, якщо всі суглоби мають 6 ДОФ? Скажіть, для кожного суглоба у мене є обертові DOF у всіх осях, , та , а також поступальні DOF у всіх осях, , та .$\theta_x$$\theta_y$$\theta_z$$t_x$$t_y$$t_z$

Щоб зробити моє запитання зрозумілішим, припустімо, якби я «насильно» застосував вищезазначену формулу до всіх ДОФ всіх суглобів, я, мабуть, отримаю матрицю якобіана таким:

(натисніть для повного розміру)

Але це неймовірно дивно, тому що всі 6 стовпців DOF для кожного суглоба повторюють одне і те ж.

Як я можу використовувати ту саму формулу для побудови матриці Якобіа з усіма DOF? Як би виглядала матриця Якобії в цьому випадку?

Я повинен визнати, що я не бачив цієї конкретної формули дуже часто, але я здогадуюсь, що у випадку більш ніж одного DOF, ви б оцінювали її для кожного суглоба в кожному стовпці, а потім (можливо?) Помножували ці результати в кожен стовпчик.

Але дозвольте запропонувати більш простий підхід до якобійців у контексті довільно багатьох DOF: В основному, якобійський говорить вам, наскільки далеко рухається кожен суглоб, якщо ви рухаєте рамку кінцевого ефектора в якомусь довільному обраному напрямку. Нехай бути прямий кінематики, де θ = [ & thetas 1 , . . . , θ n ] - стики, f pos - позиційна частина передньої кінематики і f гниль обертової частини. Тоді ви можете отримати якобійський, диференціюючи пряму кінематику щодо спільних змінних: J =$f(\theta)$$\theta = [\theta_1, ... , \theta_n]$$f_{\text{pos}}$$f_{\text{rot}}$ - якобійський ваш маніпулятор. Інвертування це дасть вам зворотну кінематику з відповідністюшвидкостям. Він все ще може бути корисним, якщо ви хочете знати, наскільки далеко повинен просуватися кожен суглоб, якщо ви хочете перемістити свій кінцевий ефектор на деякуневеликукількістьΔxу будь-якому напрямку (тому що на рівні позиції це фактично буде лінеаризацією): Δθ=J-1Δ

$$J = \frac{\partial f}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{pos}}}{\partial \theta_n} \\ \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_1}, & \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_2} & ..., \frac{\partial f_{\text{rot}}}{\partial \theta_n} \end{bmatrix}$$ $\Delta x$ $$\Delta \theta = J^{-1}\Delta x$$

Сподіваюся, що це допомагає.

Ваша формула для шва 6 dof передбачає, що всі 6 стиків мають вісь у світовій рамці і що всі шви є перекрученими. Оскільки 6 швів, таким чином, однакові, то і їхні стовпчики у якобіанців також однакові.$(0, 0, 1)$

Припустимо, спочатку припустимо, що у стику є вісь, проходить через точку r . Нехай e - позиція кінцевого ефектора. Координати a , r та e вказані у світовому кадрі та оновлюються під час переміщення робота. Вісь а має довжину 1 .$a$$r$$e$$a$$r$$e$$a$$1$

Якщо суглоб є революційним, стовп якобіанського для суглоба є

$J_{\theta}(a, r) = \left[\begin{matrix} a \times (e - r) \\ a \end{matrix}\right]$

Якщо суглоб призматичний, стовпчик є

$J_{p}(a) = \left[\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}\right]$

Припустимо, у нас є шва 6 dof, який не тільки сферичний, але і може перетворюватися в просторі. Припускаю , що осі суглоба х , у , і г і що кожні обертальні і призматическая спільні акції осі, так що якобіан для з'єднання стає$a_x$$a_y$$a_z$

$J = \left[\begin{matrix} J_p(a_x) & J_p(a_y) & J_p(a_z) & J_{\theta}(a_x, r) & J_{\theta}(a_y, r) & J_{\theta}(a_z, r) \end{matrix}\right]$

Осей , а у і г залежить від прямої кінематики робота. Для ілюстрації, нехай перетворення k- го суглоба у світовому кадрі задається формулою$a_x$$a_y$$a_z$$k$

$F_k = \prod_{i=1}^{k} L_i T_i$

де перетворення є константами, а перетворення T i залежать від спільних змінних. Нехай R c ( q ) і P c ( q ) - це перетворення, які обертаються і переводяться q на осі координат, названих c (або x , y , z ).$L_i$$T_i$$R_c(q)$$P_c(q)$$q$$c$$x$$y$$z$

Нехай - зміщення, обчислене за допомогою якобіанців, для i- го суглоба. Нехай Δ T = P x ( Δ p x ) P y ( Δ p y ) P z ( Δ p $\Delta q = (\Delta p_x, \Delta p_y, \Delta p_z, \Delta \theta_x, \Delta \theta_y, \Delta \theta_z)$$i$ і оновити локальне перетворення суглоба шляхом:$\Delta T = P_x(\Delta p_x) P_y(\Delta p_y) P_z(\Delta p_z) R_x(\Delta \theta_x) R_y(\Delta \theta_y) R_z(\Delta \theta_z)$

$T_i \leftarrow T_i \, \Delta T$

У такій постановці прямий кінематики, осі , а у і а г стику я точно стовпці матриці обертання F я . Також положення r є вектором трансляції F i .$a_x$$a_y$$a_z$$i$$F_i$$r$$F_i$

Наскільки я розумію ваше запитання про те, що вам потрібна матриця якобіан для шва 6 DOF.

Дозвольте розпочати з самих основ робототехніки. Ви перебуваєте в різній початковій фазі навчання робототехніки. Вам потрібно розуміти, що кожен суглоб являє собою єдиний DOF або він буде революційним, або призматичним.

Що стосується сферичного суглоба, він може бути перетворений в 3 обертового з'єднання з трьома взаємно перпендикулярними віссю. Отже, тепер ви спростили сферичний суглоб.

Переміщення вперед до матриці Якобії. Він містить 6 рядів. Перші 3 ряди представляють орієнтацію, а останні 3 ряди - вказану позицію з посиланням на конкретну систему координат. Кожен стовпець у матриці вказує на один стик. Таким чином, кількість з'єднань / DOF у вас є однаковим стовпчиком числа, який ви маєте в матриці Якобіа.

Ось більш чіткий погляд на ваше питання: Один спільний ніколи не виконує більше одного DOF, оскільки це ускладнює спільний і точний контроль ніколи не досягне. Навіть якщо ми розглянемо гіпотетично стик з більш ніж одним DOF, вам потрібно перетворити цей суглоб у кілька стиків по 1 DOF кожен, щоб спростити математику та рішення.

В ідеалі 6 роботів DOF з 6 спільними сумісними роботами для більшості справжніх проблем. Але, відповідно до вашого питання, ви розглянули 6 спільних роботів, кожен з яких має 3 DOF, що складає 18 DOF-роботів. Це дасть надлишковий DOF (тобто 18-6 = 12 зайвих DOF). Отже, щоб дістатись до кінцевого ефекту робота до будь-якого місця з будь-якою орієнтацією, у вас буде нескінченно різні рішення (рішення означає обертання кожного суглоба). Тому для вирішення подібної задачі оберненої кінематики вам знадобиться ітераційний метод зворотної кінематики.

Сподіваюся, я відповів на ваше запитання чіткіше. Щоб вивчити основні робототехніки, ви можете звернутися до Джона Дж. Крейга - Введення в механіку робототехніки та управління -Pearson Education, Inc.

З повагою, Манан Каласарія