У мене є дуже базове поняття про інтервальну арифметику (ІА), але, здається, це дуже цікава галузь обчислювальної науки як теоретично, так і практично. Зрозуміло, що очевидні програми - це перевірені обчислювальні та невдалі проблеми, але це занадто абстрактно. Оскільки тут багато людей, що займаються прикладними обчисленнями, мені цікаво реальних проблем, які важко або неможливо вирішити без ІА .
Відповіді:
Ця відповідь частково відповідає на коментар ДжекПулсона (оскільки він довгий), а частково відповідає на питання.
Інтервальна арифметика - це обчислювальна процедура для визначення суворих меж на обчислені величини, лише в тому сенсі, що розширення інтервалу реально оціненої функції на інтервал охоплює зображення цієї функції за той же інтервал. Не обчислюючи нічого, інтервал арифметики не може дати тобі зрозуміти, які фактори впливають на числову помилку в обчисленні, тоді як теореми в книзі Хігхема та інші дають тобі зрозуміти фактори, що впливають на числову помилку, ціною потенційно слабких меж. Звичайно, межі, отримані за допомогою інтервальної арифметики, також можуть бути слабкими через так звану проблему залежності , але іноді вони набагато сильніші. Наприклад, межі інтервалів, отримані за допомогою інтеграційного пакету COZY Infinityнабагато жорсткіші за типи меж помилок, які ви отримаєте при чисельній інтеграції за результатами Dahlquist (детальніше див. Hairer, Wanner та Nørsett ); ці результати (я особливо маю на увазі теореми 10.2 та 10.6 у частині I) дають більше розуміння джерел помилок, але межі є слабкими, тоді як межі використання COZY можуть бути жорсткими. (Вони використовують кілька хитрощів для пом’якшення проблем залежності.)
Я не вагаюся використовувати слово "доказ", коли описую, що робить арифметика інтервалу. Існують докази, що стосуються інтервальної арифметики, але обчислення результатів з використанням інтервальної арифметики із заокругленням назовні - це справді лише засіб бухгалтерського обліку для консервативного обмеження діапазону функції. Інтервальні арифметичні обчислення не є доказами; вони - спосіб поширити невизначеність.
Що стосується додатків, окрім роботи Стадтера в галузі хімічної інженерії, інтервальна арифметика також використовувалася для обчислення меж для експериментів пучка частинок (див. Роботу Макіно та Берца, пов’язану з веб-сайтом COZY Infinity), вони були застосовується у програмах глобальної оптимізації та хімічної інженерії (серед інших) Бартоном (посилання на перелік публікацій), дизайні космічних кораблів та глобальній оптимізації (серед інших) Неймайєром (знову ж таки посилання на перелік публікацій ), глобальної оптимізації та нелінійних розв'язків рівнянь за Кірфоттом (інший список публікацій), а також для кількісного визначення невизначеності (різні джерела; Бартон - одне з них).
Нарешті, відмова від відповідальності: Бартон - один із моїх радників із дипломної роботи.
Інтервальна арифметика дає вам доказ з математичною суворістю.
Хорошими прикладами фактичних застосувань є робота Марка Стадтера та його дослідницької групи. Зокрема, розрахунки фазової рівноваги та стійкості успішно вирішуються методами інтервалів.
Приємна колекція орієнтирів, що стосуються їх фізичного походження, є на веб-сайті ALIAS .
Ще одна особливість інтервалу арифметики та її узагальнень полягає в тому, що вона дозволяє адаптивно досліджувати область функції. Таким чином, його можна використовувати для адаптивного геометричного моделювання, обробки та візуалізації, лише для того, щоб взяти приклади з комп'ютерної графіки.
Інтервальні методи показали деякі недавні докази жорстких математичних теорем, такі як існування хаосу в атракторі Лоренца та Концепції Кеплера. Див. Http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf для цих та інших програм.
Інтервальна арифметика дуже корисна для геометричних алгоритмів. Такі геометричні алгоритми приймають за вхід набір геометричних об'єктів (наприклад, набір точок) і будують комбінаторну структуру даних (наприклад, триангуляцію) на основі просторових відносин між точками. Ці алгоритми залежать від невеликої кількості функцій, званих "предикатами", які приймають за вхід фіксовану кількість геометричних об'єктів і повертають дискретне значення (як правило, одне з "вище, вирівняне, внизу"). Такі предикати зазвичай відповідають знаку визначальної координати точки.
Використання стандартних чисел з плаваючою комою є недостатнім, оскільки воно може не вдається точно обчислити знак визначника, а ще гірше, повернути невідповідні результати (тобто, кажучи, що A вище B, а B вище A, завдяки чому алгоритм створює a безлад замість сітки!). Систематичне використання багатоточної (наприклад, у бібліотеці Gnu Multi-Precision та її MPFR-розширення до багатоточних чисел з плаваючою комою) працює, але спричиняє суттєве покарання за продуктивність. Коли геометричний предикат є ознакою чогось (як у більшості випадків), використання інтервальної арифметики дозволяє зробити більш швидкі обчислення, а потім лише запустити більш розширені багатоточні обчислення, якщо нуль знаходиться в інтервалі.
Такий підхід використовується у кількох великих кодах обчислювальної геометрії (наприклад, CGAL).