Числові методи перетворення інтегральних перетворень?


11

Я намагаюся чисельно перевернути таке інтегральне перетворення:

F(y)=0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)f(x)dx

Отже, для заданого мені потрібно наблизити f ( x ) де:F(y)f(x)

  • і F ( y ) - реальні і позитивніf(x)F(y)(вони є безперервними розподілами ймовірностей)
  • - реальні та позитивніx,y(вони величини)

У мене є дуже брудний і жорстокий спосіб робити це в хвилину:

Я визначаю і сплайн за рядом точок, значення сплайнованих точок 'відгадуються' випадковим відбором, що дає передбачуване F ( y ) . Основний генетичний алгоритм, який я написав, мінімізує різницю між передбачуваним і вимірюваним масивом F ( y ) . Потім я приймаю f ( x ), до якого алгоритм конвергується, як свою відповідь на інверсію.f(x)F(y)F(y)f(x)

Такий підхід працює досить добре для деяких простих випадків, але мені здається безладним і не особливо надійним.

Хтось може дати мені рекомендації щодо кращих шляхів вирішення цієї проблеми?

Дякуємо за Ваш час та допомогу!

[опубліковано в комп'ютерній науці]

Відповіді:


13

Досить простим методом було б вибрати основу в просторі функцій і перетворити інтегральне перетворення в матрицю. Тоді ви можете просто перевернути матрицю.

Математично, ось як це працює: вам потрібен певний набір ортонормальних базових функцій . (Ви можете піти без них бути нормалізовані теж, але це легше пояснити таким чином.) Ортонормального означає , що скалярний твір T я , T J= δ I J , деTi(x)Ti,Tj=δij

(1)Ti,TjabW(x)Ti(x)Tj(x)dx=δij

Тут - деяка вагова функція. Це і межі a і b прив'язані до вашого вибору T i . Вибравши, який набір базових функцій використовувати, ви зможете жорстко кодувати обмеження та функцію ваги у вашій програмі.W(x)abTi

Використовуючи ортонормальність, ви можете виразити будь-яку функцію, таку як та F ( y ) , як лінійні комбінації цих базових функцій:f(x)F(y)

(2)f(x)=iciTi(x)F(y)=jCjTj(y)

де коефіцієнти обчислюються як

(3)ci=f,Ti=abW(x)f(x)Ti(x)dx(4)Cj=F,Tj=abW(y)F(y)Tj(y)dy

Ви можете переконатись, що ці вирази відповідають визначенню коефіцієнтів, екв. (2), і ортонормічність, ек. (1).

Тепер обчисліть перетворення кожної з базових функцій; назвемо це .T~i(y)

T~i(y)0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx

- це функція, і тому ви можете виразити її як лінійну комбінацію базових функцій так само, як ми це зробили зf(x)таF(y):T~i(y)f(x)F(y)

T~i(y)=kAikTk(y)

де елементи матриці визначаються так само, як ми знайшли c i та C j вище:AikciCj

(5)Aik=T~i,Tk=abW(y)T~i(y)Tk(y)dy

ikTi(x)W(x)

AikciCjf(x)F(y)

jCjTj(y)F(y)=0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)iciTi(x)f(x)dx=ici0yexp[12(y2+x2)]I0(xy)Ti(x)dx=icikAikTk(y)

CT

(jCjTj),T=(icikAikTk),TabW(y)jCjTj(y)T(y)dy=abW(y)icijAikTk(y)T(y)dyjCjabW(y)Tj(y)T(y)dy=icikAikabW(y)Tk(y)T(y)dyjCjδj=icikAikδkC=iciAi

Cj

CjciAijciAijCjF(y)

F(y)Cj

Cj=iciAij

A

ij1NNf(x)T1(x),,TN(x)1MF(y)T1(y),,TM(y)M=NMNNciAM×NA11ANM

[1,1]TiW(x)=11x2a=1b=1Ti,Tj=δijπ/2i=j0T0,T0=π

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.