Чисто обертаються найменші квадрати

Чи може хтось порекомендувати метод для наступної проблеми з найменшими квадратами:

знайдіть що мінімізує: , де - унітарна (обертання) матриця. $R \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ $\sum\limits_{i=0}^N (Rx_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ $R$

Я міг би отримати приблизне рішення, зводячи до мінімуму $\sum\limits_{i=0}^N (Ax_i - b_i)^2 \rightarrow \min$ (довільний $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ ), беручи матриця $A$ і:

обчислення SVD: $A = U \Sigma V^T$ , випадання $\Sigma$ і апроксимізація $R \approx U V^T$
обчислення полярного розкладання: $A = U P$ , випадання симетричного лише для шкали (і в моєму випадку позитивне певне) $P$ та наближення $R \approx U$

Я також міг би використовувати розкладання QR, але це не було б ізометричним (залежало б від вибору системи координат).

Хтось знає про спосіб зробити це, принаймні приблизно, але з кращим наближенням, ніж два вищевказані методи?

linear-algebra least-squares svd

— Сергій Мігдальський
джерело

Я використовував алгоритм Кабша для подібної проблеми, який, по суті, є методом SVD, про який ви згадали en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm, якщо я не помиляюся, метод svd мінімізує рівняння, я не впевнений, що ви маєте на увазі під ' кращий метод?

— isti_spl

OMG Я щойно отримав ту саму відповідь IRL. Дякую! Очевидно, що падіння працює, якщо є негативним, і тоді оптимальне обертання включає відображення (і будь-яке обертання однаково погано). Це технічно відповідає на питання, однак, чи хтось знає про більш дешевий метод, ніж обчислення SVD? Це 3x3 SVD, але мені потрібно зробити багато з них (це для моделювання FEM, і проблема обчислюється для кожного ЗП) Також проблема, мабуть, називається проблемою Вахби, і це, мабуть, з'являється в аеронавтиці для визначення судна орієнтація.

Σ

$\Sigma$

d e t (U V^{T})

$det(UV^T)$

— Сергій Мігдальський

Я бачив подібні проблеми: scicomp.stackexchange.com/questions/7552/…

— isti_spl

і цей: dsp.stackexchange.com/questions/1911/…

— isti_spl

@isti_spl: Чи можете ви перенести свій коментар на відповідь?

— Джефф Оксберрі

Проблема називається проблемою Вахби , один алгоритм її називається алгоритмом Кабша , а пізніший більш популярний називається методом Давенпорта q . Це, мабуть, використовується і вивчається в повітроплаванні для визначення орієнтації на судно. Існує маса відгуків про методи.

Слідкуйте за тим, щоб найкраще підходило, зокрема, рефлексія.

Метод Кабша обчислює коваріаційну матрицю SVD 3x3 і скидає термін (по модулю одне відображення, яке, як правило, враховується шляхом відкидання останнього стовпця у SVD). Це дуже просто узагальнити до іншої кількості вимірів. $\Sigma$ $U$

Метод Davenport q часто рекламується як перший практичний алгоритм, можливо, хтось може прокоментувати чому. Він також побудує коваріаційну матрицю 3x3, але потім параметризує матрицю обертання як функцію кватерніона, і проблема стає проблемою обчислення максимально-власного значення власного вектора симетричної матриці 4x4.

(Деякі з) найпопулярніших числових реалізацій називаються QUEST та FOMA . Ці методи, як правило, є варіацією теми обчислення максимальної власної величини, виписавши та оптимізувавши характерний многочлен (кварт), або вирішити його аналітично (досить задіяні обчислення, проходячи за формулами Кардано), або за допомогою ітерації Ньютона.

Шустер також розробив та проаналізував деякі варіанти ітеративних алгоритмів.

— Сергій Мігдальський
джерело

Щоб ознайомитися з історією аерокосмічної спільноти, ознайомтеся з " Скромними проблемами " Марклі.

— Дамієн