Метод кінцевих елементів проти розширеного методу кінцевих елементів (FEM проти XFEM)

Які основні відмінності між FEM і XFEM? Коли ми повинні (не) використовувати XFEM interad FEM і навпаки? Іншими словами, коли я зустрічаю нову проблему, як я можу знати, якою з них користуватися?

— Ань-Ті DINH
джерело

Більшість випадків, з якими я стикався з XFEM, це стосувалося розривів, пов’язаних із розповсюдженням тріщин та розривом твердої механіки. Я насправді не бачив, як він використовувався поза цією однією програмою, хоча.

— Павло

Насправді, існує ще багато інших полів, які також використовують XFEM для вирішення. Ось чому мені потрібно знати спосіб розпізнавання цього методу кожного разу, коли я починаю вирішувати проблему.

— Ан-Тхі DINH

Відповіді:

Метод кінцевих елементів (FEM) є батьківським методом, який надихнув багато, багато інших методів і методів, які насправді є FEM, але прикидаються такими, що їх немає.

У методі кінцевих елементів "функції форми" використовуються для забезпечення простору апроксимації, щоб рішення можна було представити вектором. У класичному FEM ці функції форми є многочленами.

У методі розширеного кінцевого елемента (XFEM) додаткові функції "збагачення" використовуються для наближення рішення крім функцій поліноміальної форми. Ці функції збагачення вибрані таким чином, щоб вони мали властивості, яким, як відомо, слід застосовувати рішення.

Найбільш очевидні функції збагачення XFEM - це силові функції, що вводяться в гострих кутах тріщин, щоб представити особливості в градієнті розчину (тобто, особливість напруги для проблем твердої механіки). XFEM можна використовувати для інших функцій збагачення та інших областей рішення (зокрема теплопередачі), але назва є синонімом аналізу на руйнування.

Відмінність між різними методами - це XFEM чи ні? Тощо. - є хитромудрим, тонким і неважливим.

Щодо використання, XFEM бачить дуже мало практичного використання. Є декілька додатків у реальних кодах кінцевих елементів, зокрема, Абакус, але вони не сприйняли широкого прийняття.

Практично для всіх практичних проблем використовуватиметься класичний FEM. Для більшості проблем аналізу руйнувань класичний FEM все ще може використовуватися з відповідним очищенням сітки та / або p-очищенням в області кінчика тріщини. Також можуть використовуватися інші, менш жорсткі моделі розлому.

— Майк
джерело

Не бажаючи відмовлятися від цієї (чудової) відповіді, особливі функції, які представляють компоненти рішення в кутах відстеження, насправді є типом

r^{α}

$r^{\alpha}$ де

r

$r$ - відстань до кута,

0 < α < 1

$0<\alpha<1$ для переміщення (розчин) та

- 1 < α < 0

$-1<\alpha<0$ для стресу (його похідної).

— Вольфганг Бангерт

@WolfgangBangerth, дякую! Я відредагував свою відповідь, щоб сказати "функції живлення", що я мав намір поставити на перше місце, хоча це залишається неточним. Я майже поклав sqrt (r) (для закритої тріщини), щоб намалювати чіткішу картину, але я не був впевнений, що це буде відволікати. Я знаю ще багато деталей, щоб серйозно реалізувати XFEM (деякі я вивчав, а інші ні).

— Майк

@Mike: ще одне менш пов'язане питання полягає в тому, в чому різниця між P1-міхурним FEM і XFEM? Ви можете показати мені?

— Ан-Тхі DINH

@PoBo, подібності мало. Обидва методи передбачають додавання функцій форми без зміни сітки, і обидва засновані на одній і тій же базовій математиці, загальній для всієї родини FEM, але на цьому схожість закінчується.

— Майк

Якщо ви не дуже добре розумієте p-версію або підхід до функції форми P1-міхура, ви можете спробувати ще одне питання верхнього рівня або забрати одну з книг на ньому (Szabo і Babuska's в цілому досить жорсткі, але набагато менше, ніж інші, що охоплюють p-версію.)

— Майк

Обидва Майка відповідь і Джед один добре описують дихотомії XFEM / FEM і правильно вказати, що найбільш важлива область застосування 3D - механіка руйнування, де у вас є тріщини, тобто зміщення розрив через поверхню всередині домену.

Тріщини важко моделювати в класичній ПНД з двох причин:

Сітка повинна бути конгруентною по всій тріщині: точніше тріщина повинна бути на межі піддомену FE. Тріщина не може лежати всередині (хоча пройти) кінцевий елемент.
Сингулярне напружене поле на кінчику тріщини вимагає, щоб спеціальні елементи та / або техніка зачеплення (елементи чверті точки, сфокусована сітка) були змодельовані з хорошою точністю.

З інженерної точки зору в механіці руйнування у вас є два основні типи проблем:

Розрахунок коефіцієнта напруженості напруги ,
аналіз розповсюдження тріщин, наприклад, при аналізі толерантності до втоми або пошкоджень.

Для першого типу завдання класичної МСЕ є більш адекватним і стандартним інструмент розробки. (Це тому, що, на щастя, існують енергетичні методи для оцінки факторів інтенсивності напруження, не чутливих до числових помилок біля вершини тріщини.)

Аналіз розповсюдження тріщин - це зовсім інша історія: у більшості випадків ви заздалегідь не знаєте шляху тріщини, а тому потрібні часті виправлення. Основна обіцянка XFEM - дозволити розповсюдження тріщин всередині нерухомої сітки FEM, що тріщина прорізає його шлях не тільки на межі між субдоменами, але і всередині самих ЗП.

XFEM - це відносно нова методика, яка ще далеко не є стандартним інженерним інструментом. Моя відповідь на питання ОП, принаймні в галузі твердої механіки та інженерного аналізу, полягає в тому, що XFEM має дуже вузьке і спеціалізоване поле застосування в аналізі розповсюдження тріщин і пошкоджень для складних 3D-геометрій, коли шлях тріщини неможливо оцінити апріорно .

Проте дозвольте мені наголосити, що механіка руйнування є дуже важливою галуззю техніки: наприклад, сучасні літаки є безпечними ще й тому, що можна чисельно передбачити пошкодження та розповсюдження тріщин між інтервалами технічного обслуговування. XFEM або подібні нові методи мають стати важливими інструментами найближчим часом.

— Стефано М
джерело

важливість XFEM у механіці руйнування показана усіма вами, але чи є ще інші поля, щоб використовувати XFEM замість класичної FEM? Наприклад, при зростанні біоплівки інтерфейс біоплівки в субстраті змінюється з часом. Межа змінна (рухома межа). Якщо ми використовуємо класичний FEM, сітка повинна генеруватися на кожному кроці, це правильно? Це справді не добре, особливо в 3D-справі. Або якщо ми розглянемо 2 фази рідини з різними градієнтами концентрації, мабуть, потрібно використовувати і XFEM?

— Ан-Тхі DINH

Існує багато проблем, при яких у вас вільні поверхні або рухомі межі, які складні при чистому підході Лагрангія (через часті переробки). XFEM більше стосується моделювання розривів всередині доменів. Я знаю процедури з'єднання, які використовують розрив, щоб представити рухому межу ... але я не є експертом у цих сферах.

— Стефано М

Ще одне менш пов'язане питання полягає в тому, в чому різниця між P1-міхурним FEM і XFEM? Ви можете показати мені?

— Ан-Тхі DINH

Я б запропонував відкрити нове питання. Коротко P1-міхур / P1 є особливим кінцевим елементом (для рішення рівняння Стокса), тоді як XFEM є більш загальною концепцією, що стосується використання функцій збагачення для моделювання розривів, використовуючи підхід Partition of Unity.

— Стефано М

FEM - це підмножина XFEM. XFEM - це методологія збагачення простору кінцевих елементів для вирішення проблем із розривами (наприклад, переломом). За допомогою класичного FEM, досягнення подібної точності зазвичай вимагає складних конформних з'єднань та адаптивного доопрацювання, коли XFEM робить це з однією сіткою, переміщуючи цю геометричну складність у елементи (XFEM дуже складно реалізувати, особливо в 3D). Тим часом, XFEM призводить до надзвичайно кондиціонованих матриць, для яких потрібні прямі розв'язувачі, або дуже спеціалізовані багаторешіткові методи (наприклад, Gerstenberger та Tuminaro (2012) ).

— Джед Браун
джерело

Чи справді виправдаються зусилля з переміщення складності з сітки на функції форми? І те, і інше здається складним однаково.

— шухало

Як це часто трапляється в обчислювальній науці, залежить від того, кого ви запитуєте, і яку проблему ви вирішуєте. Багато практикуючих фахівців XFEM складають обман, використовуючи сиру квадратуру замість однієї, адаптованої до внутрішньоелементних розривів.

— Джед Браун