Перевірка, чи є матриця позитивною напіввизначеною

У мене є список ${\cal L}$ симетричних матриць, які мені потрібно перевірити на наявність позитивної напіввизначеності (тобто їх власні значення невід'ємні.)

У коментарі вище випливає, що можна зробити це, обчисливши відповідні власні значення і перевіривши, чи вони негативні (можливо, потрібно потурбуватися про помилки округлення.)

Обчислення власних значень в моєму сценарії досить дороге, але я помітив, що бібліотека, яку я використовую, має досить швидкий тест на позитивну визначеність (тобто, якщо власні значення матриці є суто позитивними.)

Звідси випливає думка, що, маючи матрицю , один тест, якщо B + ϵ I позитивно визначений. Якщо це не так, B не є позитивним напіввизначеним, інакше можна обчислити власні значення B, щоб переконатися, що це дійсно позитивні напіввизначені.$B \in {\cal L}$$B + \epsilon I$$B$$B$

Моє питання зараз:

Чи існує більш прямий та ефективний спосіб перевірити, чи є матриця напіввизначеною позитивною, за умови надання ефективного тесту на позитивну визначеність?

Яке ваше робоче визначення "позитивний напівдефініт" або "позитивний певний"? У арифметиці з плаваючою комою вам доведеться вказати якусь толерантність для цього.

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

λ $-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

На жаль, обчислення всіх власних значень матриці займає досить багато часу. Інший часто використовуваний підхід полягає в тому, що симетрична матриця вважається певною позитивною, якщо матриця має аліфметику Холеського в арифметиці з плаваючою комою. Обчислення факторизації Чолеського на порядок швидше, ніж обчислення власних значень. Ви можете поширити це на позитивну напівкінність, додавши до матриці невеликий кратний ідентичність. Знову виникають проблеми масштабування. Один з швидких підходів - це зробити симетричне масштабування матриці, щоб діагональні елементи дорівнювали 1,0 і додати до діагоналі перед обчисленням факторизації Чолеського. $\epsilon$

Але ви повинні бути обережні з цим, оскільки є деякі проблеми з підходом. Наприклад, існують обставини, коли і є позитивно визначеними в тому сенсі, що вони мають коефіцієнти Чолеського з плаваючою точкою, але не має факторизації Чолеського. Таким чином, множина "плаваючої точки Чолеського, що визначає позитивні певні матриці" не опукла! B ( A + B ) /$A$$B$$(A+B)/2$

• Керр, TH, « Тестування Матриця для визначеності і застосування Приклади, Spawn Необхідність ,» АІАА журнал Керівництва , контролю і динамік, Vol. 10, № 5, стор 503-506, вересень-жовт., 1987.

• Керр, TH, « Про хибні твердження тесту на позитивні напівфінітні матриці », AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics , Vol. 13, № 3, стор 571-572, травень-червень. 1990 р. (Як це сталося в програмному забезпеченні навігації та відстеження цілей у 1970-х та 1980-х роках з використанням контрприкладів)

• Керр, TH, « Помилки в обчислювальному тестуванні позитивної визначеності матриці / напівфініті », операції IEEE в аерокосмічних та електронних системах , Vol. 26, № 2, с. 415-421, березень 1990 р. [Перераховані помилкові алгоритми, за якими автор встановив, що вони існують звичайно в програмному забезпеченні навігації та підводних човнів ВМС США наприкінці 1970-х - початку 1980-х рр., Використовуючи контрприклади для вказівки на проблеми. ]

Python для пропозиції @Brian Borchers, спробуйте розкладку Чольського:

from sksparse.cholmod import cholesky, CholmodNotPositiveDefiniteError
    # https://scikit-sparse.readthedocs.io/en/latest/cholmod.html

def testposdef( A, beta=1e-6, pr="" ):
    """ try cholesky( a scipy.sparse matrix  + beta I )

    Why A + beta I, beta say 1e-6 ?
    If A has tiny eigenvalues, 0 to within machine precision,
    about half of these "zeros" may be negative -- tough on solvers.
    Also the condition number improves to ~ rho(A) / beta.
    """
    try:
        solve = cholesky( A, beta=beta )  # A + beta I
        if pr:
            print( "%s + %g I is positive-definite" % (pr, beta ))
        return solve  # x = solve( b )
    except CholmodNotPositiveDefiniteError:
        if pr:
            print( "%s + %g I is not positive-definite" % (pr, beta ))
        return False