Чи означає крихітний детермінант неправильне кондиціонування матриці?

$\det(A) \approx 0$

Чи справедливо і зворотне? Чи має неправильно обумовлена матриця детермінант майже нуля?

Ось що я спробував у Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Запит
джерело

Детермінант показує, чи є матриця правильною чи сингулярною. Це не показує, чи це добре чи погано обумовлено.

— Аллан П. Енгсіг-Каруп

Величина детермінанта не може відображати недобре обумовленість: але .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

Чи повинен десь бути чи ?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Запит

Якщо вам цікаво дізнатися більше про вплив математики з плаваючою комою на спектри матриць, вам слід ознайомитись з книгою Ніка Трефетена: Спектри та псевдоспектри: Поведінка ненормальних матриць та операторів та шлюз Псевдоспектри .

— Арон Ахмадія

Відповіді:

Саме величина числа умови вимірює близькість до сингулярності, а не тонкість детермінанта. $\kappa(\mathbf A)$

Наприклад, діагональна матриця має крихітний визначник, але добре обумовлена. $10^{-50} \mathbf I$

Зверніть увагу на наступне сімейство квадратних верхніх трикутних матриць завдяки Олександру Островському (а також його вивчав Джим Вілкінсон):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Детермінант матриці завжди дорівнює , але відношення найбільшого до найменшого сингулярного значення (тобто 2- число умови ) показав, що Островський дорівнює , що може збільшуватися для збільшення . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
джерело

@Nunoxic: швидше за все, ні; перед тим, як розпочати деталізацію, ви вже знайомі з розбором значення однини?

— JM

Дуже добре. Це все, що потрібно знати. Ідея полягає в тому, що дуже важлива інформація щодо кондиціонування зосереджена в . Зокрема, вам потрібно буде шукати найбільші та найменші значення (пам’ятайте, що декомпозиція визначена таким чином, що діагональні записи невід'ємні) у діагоналі цієї матриці. Відношення найбільшого до найменшого діагонального запису - число умови . Який розмір номера умови повинен вас турбувати, залежить від машини, над якою ви працюєте ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... але в цілому, при вирішенні лінійних рівнянь з цією матрицею, ви стоїте втратити base- цифр в рішенні. Це приблизне правило щодо кількості умови; тому якщо ви працюєте лише з 16 цифрами, з повинен викликати занепокоєння.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Так, але це не рекомендований метод визначення номера умови (пояснення до іншого питання). Я припускаю, що ви знаєте, як перетворити діагональну матрицю, ні?

— JM

"Редд. Втрата цифр, чи не могли б ви дати мені довідку про це?" - Я міг би, але це справді одна з тих речей, над якими ви повинні самостійно експериментувати в обчислювальному середовищі для посилення.

— JM

Оскільки , визначник може бути зроблений довільно великим або малим простим масштабуванням (що не змінює номер умови). Особливо у великих розмірах навіть масштабування невинного коефіцієнта 2 змінює детермінант на величезну кількість. $\det(kA)=k^n\det A$

Таким чином, ніколи не використовуйте визначник для оцінки стану чи близькості до сингулярності.

З іншого боку, майже для всіх добре поставлених числових задач умова тісно пов'язана з відстані до сингулярності, в сенсі найменшого відносного збурення, необхідного для того, щоб зробити проблему неправомірною. Зокрема, це стосується лінійних систем.

— Арнольд Ноймаєр
джерело