Швидке явне рішення для

Я шукаю швидке (смію сказати оптимальне?) Чітке рішення лінійної реальної задачі 3x3, , . $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$$\mathbf{A} \in \mathbf{R}^{3 \times 3}, \mathbf{b} \in \mathbf{R}^{3}$

Матриця загальна, але близька до матриці ідентичності з числом умови, близькою до 1. Оскільки насправді сенсорні вимірювання з приблизно 5 цифрами точності, я не проти втратити кілька цифр через числову питань.$\mathbf{A}$$\mathbf{b}$

Звичайно, не важко придумати чітке рішення, засноване на будь-якій кількості методів, але якщо є щось, що було б оптимальним з точки зору підрахунку FLOPS, це було б ідеально (адже вся проблема швидше за все, вписується в регістри FP!).

(Так, цю процедуру часто називають . Я вже позбувся фруктів, що звисають, і це далі в моєму профільному списку ...)

Ви не можете перемогти явну формулу. На аркуші паперу можна записати формули для рішення . Нехай компілятор оптимізує речі для вас. Будь-який інший метод майже неминуче має висловлювання або цикли (наприклад, для ітеративних методів), які зроблять ваш код повільніше, ніж будь-який прямий код.$x=A^{-1}b$iffor

Оскільки матриця наближена до тотожності, наступні серії Неймана будуть сходитися дуже швидко:

Залежно від необхідної точності, це може бути навіть досить хорошим для врізання через 2 умови:

Це може бути трохи швидше, ніж пряма формула (як це пропонується у відповіді Вольфганга Бангерта), хоча з значно меншою точністю.

Ви можете отримати більшу точність за допомогою 3 доданків:

але якщо ви формулу введення за входом для , ви дивитеся на порівнянну кількість операцій з плаваючою комою, як пряму формулу зворотної матриці 3x3 (не потрібно робити поділ, хоча, який трохи допомагає).$(3I - 3A + A^2)b$

Підрахунок FLOPS виходячи з пропозицій, наведених вище:

• LU, немає повороту:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Всього = 28; або
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Всього = 30

• Усунення Гаусса із зворотною підміною, без повороту:

  • Mul = 11, Div / Recip = 6, Add / Sub = 11, Всього = 28; або
  • Mul = 16, Div / Recip = 3, Add / Sub = 11, Всього = 30

• Правило Крамера через розширення кофактора

  • Mul = 24, Div = 3, Add / Sub = 15, Total = 42; або
  • Mul = 27, Div = 1, Add / Sub = 15, Total = 43

• Явне зворотне, а потім помножити:

  • Mul = 30, Div = 3, Add / Sub = 17, Total = 50; або
  • Mul = 33, Div = 1, Add / Sub = 17, Total = 51

Концепції підтвердження MATLAB:

Правило Креймера через розширення Cofactor :

function k = CramersRule(A, m)
%
% FLOPS:
%
% Multiplications:        24
% Subtractions/Additions: 15
% Divisions:               3
%
% Total:                  42

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

x = m(1);
y = m(2);
z = m(3);

ei = e*i;
fh = f*h;

di = d*i;
fg = f*g;

dh = d*h;
eg = e*g;

ei_m_fh = ei - fh;
di_m_fg = di - fg;
dh_m_eg = dh - eg;

yi = y*i;
fz = f*z;

yh = y*h;
ez = e*z;

yi_m_fz = yi - fz;
yh_m_ez = yh - ez;

dz = d*z;
yg = y*g;

dz_m_yg = dz - yg;
ez_m_yh = ez - yh;


det_a = a*ei_m_fh - b*di_m_fg + c*dh_m_eg;
det_1 = x*ei_m_fh - b*yi_m_fz + c*yh_m_ez;
det_2 = a*yi_m_fz - x*di_m_fg + c*dz_m_yg;
det_3 = a*ez_m_yh - b*dz_m_yg + x*dh_m_eg;


p = det_1 / det_a;
q = det_2 / det_a;
r = det_3 / det_a;

k = [p;q;r];

LU (відсутність повороту) та зворотна заміна:

function [x, y, L, U] = LUSolve(A, b)
% Total FLOPS count:     (w/ Mods)
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions/Recip:   6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total =           28    30
%

A11 = A(1,1);
A12 = A(1,2);
A13 = A(1,3);

A21 = A(2,1);
A22 = A(2,2);
A23 = A(2,3);

A31 = A(3,1);
A32 = A(3,2);
A33 = A(3,3);

b1 = b(1);
b2 = b(2);
b3 = b(3);

L11 = 1;
L22 = 1;
L33 = 1;

U11 = A11;
U12 = A12;
U13 = A13;

L21 = A21 / U11;
L31 = A31 / U11;

U22 = (A22 - L21*U12);
L32 = (A32 - L31*U12) / U22;

U23 = (A23 - L21*U13);

U33 = (A33 - L31*U13 - L32*U23);

y1 = b1;
y2 = b2 - L21*y1;
y3 = b3 - L31*y1 - L32*y2;

x3 = (y3                  ) / U33;
x2 = (y2 -          U23*x3) / U22;
x1 = (y1 - U12*x2 - U13*x3) / U11;

L = [ ...
    L11,   0,   0;
    L21, L22,   0;
    L31, L32, L33];

U = [ ...
    U11, U12, U13;
      0, U22, U23;
      0,   0, U33];

x = [x1;x2;x3];
y = [y1;y2;y3];

Явне зворотне, а потім помножити:

function x = ExplicitInverseMultiply(A, m)
%
% FLOPS count:                  Alternative
%
% Multiplications:        30            33
% Divisions:               3             1
% Additions/Subtractions: 17            17
% Total:                  50            51


a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

ae = a*e;
af = a*f;
ah = a*h;
ai = a*i;

bd = b*d;
bf = b*f;
bg = b*g;
bi = b*i;

cd = c*d;
ce = c*e;
cg = c*g;
ch = c*h;

dh = d*h;
di = d*i;

eg = e*g;
ei = e*i;

fg = f*g;
fh = f*h;

dh_m_eg = (dh - eg);
ei_m_fh = (ei - fh);
fg_m_di = (fg - di);

A = ei_m_fh;
B = fg_m_di;
C = dh_m_eg;
D = (ch - bi);
E = (ai - cg);
F = (bg - ah);
G = (bf - ce);
H = (cd - af);
I = (ae - bd);

det_A = a*ei_m_fh + b*fg_m_di + c*dh_m_eg;

x1 =  (A*m(1) + D*m(2) + G*m(3)) / det_A;
x2 =  (B*m(1) + E*m(2) + H*m(3)) / det_A;
x3 =  (C*m(1) + F*m(2) + I*m(3)) / det_A;

x = [x1;x2;x3];

Гауссова ліквідація:

function x = GaussianEliminationSolve(A, m)
%
% FLOPS Count:      Min   Alternate
%
% Multiplications:  11    16
% Divisions:         6     3
% Add/Subtractions: 11    11
% Total:            28    30
%

a = A(1,1);
b = A(1,2);
c = A(1,3);

d = A(2,1);
e = A(2,2);
f = A(2,3);

g = A(3,1);
h = A(3,2);
i = A(3,3);

b1 = m(1);
b2 = m(2);
b3 = m(3);

% Get to echelon form

op1 = d/a;

e_dash  = e  - op1*b;
f_dash  = f  - op1*c;
b2_dash = b2 - op1*b1;

op2 = g/a;

h_dash  = h  - op2*b;
i_dash  = i  - op2*c;
b3_dash = b3 - op2*b1; 

op3 = h_dash / e_dash;

i_dash2  = i_dash  - op3*f_dash;
b3_dash2 = b3_dash - op3*b2_dash;

% Back substitution

x3 = (b3_dash2                  ) / i_dash2;
x2 = (b2_dash        - f_dash*x3) / e_dash;
x1 = (b1      - b*x2 -      c*x3) / a;

x = [x1 ; x2 ; x3];

Примітка. Будь ласка, додайте свої власні методи та рахунки до цієї публікації.

Можливо, правило Крамера. Якщо ви можете уникнути повороту, можливо LU-факторизація; це матриця 3x3, тому розгортати петлі вручну було б просто. Будь-яке інше, ймовірно, передбачає розгалуження, і я сумніваюся, що метод підпростору Крилова досить часто сходиться в 1 або 2 ітераціях, щоб він того вартував.