Які ітеративні лінійні розв'язки сходяться для позитивних напівдефінітних матриць?

Я хочу знати , які з класичних лінійних решателей (наприклад , Гаусс-Зейделя, Jacobi, SOR) гарантовано сходяться для завдання , де позитивно підлозі визначена і, звичайно $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

(Повідомлення є напіввизначеним і не визначеним) $A$

— olamundo
джерело

Ви маєте на увазі позитивні напіввизначені матриці?

— meawoppl

В чому користь розв’язування лінійної системи з такою матрицею? Якщо я не помиляюся, якщо ваша позитивна семидефинитная матриця не є сингулярною, вона просто позитивна визначена.

— faleichik

Так, я впевнений. Я повинен оновити свою пам’ять як для фактичного підтвердження, але відповідно до того, що ви говорили - якщо знаменник у обчисленні дорівнює нулю, це означає, що дорівнює нулю, це означає, що всі "напрямки пошуку", в яких A не є особливими, вичерпані, і залишок, який ви залишите не в межах А (і, отже, це "оптимальне" рішення). У тому випадку, якщо насправді , це не відбудеться, оскільки залишковий результат досягне нуля безпосередньо до першого разу

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

Встановити

. Тоді

. CG буде сходитися через

для всіх

. Іншими словами, ви ніколи не залишаєте

для якого

є позитивним.

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Смерть

@faleichik: матриці зниженої щільності у квантовій механіці є позитивними напіввизначеними у дуже багатьох випадках.

— Смерть

Відповіді:

Алгоритм сполученого градієнта працює для напіввизначених задач і виробляє рішення мінімальної норми.

— Арнольд Ноймаєр
джерело

Дякую. Будь-яка ідея про "архаїчні" вирішувачі, наприклад SOR Гаус-

— Сейдель

Вони майже ніколи не використовуються, і я не знаю, як вони поводяться.

— Арнольд Ноймаєр

Для уточнення: CG звичайно не працює у ванільній формі для напіввизначених матриць; теоретично це може працювати, якщо B є зображенням A; але це малоймовірно закінчиться в числовій практиці. Тут дуже схожий MINRES на основі крилова. Крім того, ці "архаїчні" розв'язувачі широко використовуються в розв'язках багаторешітного типу, щоб назвати один приклад.

— Eelco Hoogendoorn

$b$ $A$

Це дуже не стосується Якобі; яка ганьба, оскільки хто хоче турбуватися з Гауссом-Сейделем щодо сучасного комп'ютерного обладнання? Якщо вашу проблему можна розділити на діагонально-домінуючі блоки, вам пощастить; ви можете застосувати оновлення Jacobi до цих блоків поступово Гаусса-Сейделя і отримати найкраще для обох типів напіввизначених проблем.

— Еелько Хугендорн
джерело