Як LAPACK вирішує тридіагональні системи і чому?

У моєму проекті я маю вирішувати пару тридіагональних матриць на кожному кроці, тому для них важливо мати гарне рішення. Я зробив власну реалізацію, просто класичний спосіб зробити це описаний у Вікіпедії. Потім я спробував використати Lapack, і, на мій подив, це було повільніше!

Тепер усередині Lapack здається, що це робить рішення за допомогою LU-факторизації, і мені цікаво, чому це не складніше, ніж могло б бути?

Крім того, я знайшов алгоритм у книзі "Числові рецепти" від nr.com, який рекурсивно ділить систему на менші тридіагональні проблеми. Це виглядало перспективно. Є якісь інші смаколики там?

Оновлення: розмір проблеми становить близько 1000x1000. Я використовував GotoBLAS, він також дає вам бібліотеку Lapack 3.1.1. Проблема не симетрична. Я використовував процедуру Lapack для загальних тридіагональних матриць.

banded-matrix lapack

— тіам
джерело

Вам доведеться вказати, які програми LAPACK ви використовували для цього. Зауважте, що dgtsv виконує часткове повороти , але ваш код може цього не робити. Будь ласка, вкажіть, з якою тестовою реалізацією LAPACK ви протестували та з якими розмірами проблеми ви орієнтувались. Також, чи визначена ваша проблема симетричним позитивним?

— Джед Браун

Я додав інформацію у формулювання запитання.

— Тіам

Ваша програма чимось пов’язана з методами кінцевих обсягів?

— Запит

Це кінцеві відмінності, але в цій перспективі я думаю, більш-менш однаковий.

— Тіам

Ви використовуєте опорну реалізацію, яка робить часткове поворот. Тридіагональні рішення дуже мало працюють і не дзвонять в BLAS. Це, швидше, повільніше, ніж ваш код, тому що він робить часткове повороти. Вихідний код dgtsv простий.

Якщо ви вирішите з однією і тією ж матрицею кілька разів, можливо, захочете зберігати фактори, використовуючи dgttrf та dgttrs . Можливо, що в оптимізованому LAPACK, такому як MKL, ACML або ESSL, реалізація буде більш ефективною.

— Джед Браун
джерело

Я трохи цікавий. Gaussian Elim з PP працював би для всіх матриць, включаючи TriDiagonal. У CFD ми використовуємо спеціальний метод для випадків FD 1D, який називається TDMA . Що, на вашу думку, було б швидше для справи, яку він обговорює? Хоча, я не зовсім впевнений, його матриці є діагонально домінуючими.

— Запит

TDMA - це те, що я реалізував у своєму коді. Питання полягає в тому, чому б супершвидкий Lapack використовував процедуру часткового повороту в такій конкретній матриці, яка швидше вирішується таким простим методом, як TDMA.

— Тіам

Це точно той же алгоритм (Гауссова елімінація, спеціалізована для тридіагональної матриці), але ваша реалізація не робить часткового повороту, тому може бути чисельно нестабільною. Таке перемикання не є безкоштовним, і ви порівнюєте їх із еталонною реалізацією. Реалізація посилань не оптимізована для продуктивності, а часткове перемикання не є безкоштовним.

— Джед Браун

Я бачу, що ви маєте на увазі, я отримую перевагу від своїх знань про системи, які я вирішую. Чи надають інші реалізації LAPACK підвищення продуктивності завдяки адаптації до конкретної архітектури чи це виходить за рамки цього?

— Тіам