зважена проблема SVD?

Давши дві матриці і , я хотів би знайти вектори і , такі, що У матричній формі я намагаюся мінімізувати норму Фробеніуса . $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

Загалом, я хотів би знайти кілька одиничних векторів $x$ і $y$ у формі

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ де

s_{i}

$s_i$ - позитивні реальні коефіцієнти.

Це еквівалентно розкладу сингулярного значення (SVD), коли $(B)_{ij} = 1$ .

Хтось знає, як називається ця проблема? Чи існує відомий алгоритм на зразок SVD для вирішення такої проблеми?

(перенесено з math.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Спогад
джерело

Я вважаю, що це узагальнений SVD . Запис у Вікіпедії не дуже детальний, тому, ймовірно, слід перевірити пов'язані джерела. Зокрема, корисна може бути сторінка 466 цього посилання на книги Google .

— ely

Для мене це не схоже на узагальнений SVD. Тим більше, що B не обов'язково є діагональним або симетричним, тому кожен

x

$x$ або

y

$y$ може відображатися багато разів у сумі.

— Віктор Лю

В узагальненому SVD не потрібно бути ні діагональним, ні симетричним. Обидва надані мною посилання вказують, що A і B можуть бути загальними комплексними матрицями розмірності M-by-N і P-by-N відповідно.

— ely

Дякуємо за пропозицію @EMS. Буду вдячний, якщо ви можете розробити зв'язок.

— Спогад

Це далеко не узагальнений SVD.

Якщо B - позитивна матриця, ви можете використовувати мій пакет BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

У статті http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf, що описує метод, також наведено посилання, які ви можете вважати для пошуку літератури.

— Арнольд Ноймаєр
джерело

Ах, перетворюючи задачу на зважене наближення низького рангу! Дуже дякую!

— Спогад

Щоб додати деталі до відповіді @ Арнольда, ця проблема може бути перетворена на зважену проблему наближення низького рангу, де мета полягає в мінімізації зваженої норми замість норми Фробеніуса. де і позначає добуток Шура (ака Продукт Адамара).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— Спогад

Так. Це дає приємну назву вашій проблемі. Як її вирішити - це інша справа. Це не стандартна проблема, і було досить складно знайти алгоритм, який є швидким і надійним.

— Арнольд Ноймаєр

@ArnoldNeumaier це чудово, дякую. чи можна було б отримати ліцензію та повідомлення про авторські права зі своїм кодом? Як і зараз, це власне програмне забезпечення. Якщо ви випустите його під GPLv3 або сумісним, він може знайти шлях до пакету лінійно-алгебри GNU Octave.

— JuanPi