Я знаю, що ми можемо використовувати методи математичного аналізу, щоб довести, чи IVP або BVP має рішення, є унікальним і постійно залежить від граничних / початкових значень. Для деяких PDE, особливо нелінійних PDE, дуже важко, якщо не неможливо, довести вподобаність. Чи існує якась методика числення, щоб перевірити, чи проблема поставлена чи ні?
Чи можна застосовувати числову схему для визначення впорядкованості початкової чи граничної задачі?
Відповіді:
Загалом, ні. Чисельне рішення іноді може використовуватися як груба міра, щоб вказати, чи достатньо граничних умов, наприклад, для виявлення "плаваючих" доменів, але є багато випадків, коли дискретні рішення дають вам прямо оманливу інформацію про проблему континууму.
Адвекційна дифузія вимагає граничної умови на всіх кордонах, але дискретні системи не можуть використовувати граничну умову на виході (не однорідна умова Неймана, я дійсно маю на увазі відсутність граничної умови). Мало того, це точніше, ніж дискретне представлення граничної умови континууму. Докладніше див. Papanastasiou, Malamataris, та Ellwood 1992 та Griffiths 1997 . Подібна гранична умова також важлива для ковзання по вигнутих поверхнях, див. Behr 2004 .
"Феномен карбункула" впливає на певні методи стискання потоку. Це не дуже добре зрозуміло, але, здавалося б, надійні числові схеми можуть сходитися до помилкових рішень. Приклад від Robinet et al. 2000 рік
Помилкові рішення для несжимаемого Нав'є-Стокса в ламінарному режимі. Простий приклад порожнини з кришкою приведений у Schreiber and Keller 1983 .
Системи гіперболічних законів збереження з нефізичним відносним розміром чисельного розсіювання. Завжди потрібне деяке числове розсіювання, але в іншому випадку надійні (наприклад, Годунов) методи можуть систематично сходитися до неправильних результатів, якщо числове розсіювання в кінцевому підсумку не є фізичним. Простий приклад наведено в Mishra та Spinolo 2011де стандартний метод Годунова сходить до невірного результату для 1D лінеаризованої мілководдя. Це представляє себе в більш глибокій формі у великому вихровому моделюванні. Едді в'язкість є фізичним проявом підрешіткових шкал, але якщо (неминуче) числове розсіювання більше, ніж фізичне розсіювання, моделювання може сходити до систематично неправильних результатів. На практиці дуже важливе значення має закриття підметки для вихрової в'язкості. Це питання проходження єдиної межі правильним (фізичним) шляхом.
Ефекти фіксації в режимах еластичності або шахів у нестисливому потоці. Вони пов'язані з вибором нестабільного простору наближення і зараз дуже добре зрозуміли, принаймні, для лінійних задач, але покладаючись на числове рішення для виведення добре поставленої позиції, може привести вас до висновку, що межа стисливої межі була неправомірно поставлена.