Який найшвидший спосіб обчислити найбільше власне значення загальної матриці?

EDIT: Я перевіряю, чи якісь власні значення мають величину одну або більше.

Мені потрібно знайти найбільше абсолютне власне значення великої розрідженої несиметричної матриці.

Я використовував eigen()функцію R , яка використовує альго QR або EISPACK або LAPACK, щоб знайти всі власні значення, а потім використовую abs()для отримання абсолютних значень. Однак мені потрібно зробити це швидше.

Я також спробував використовувати інтерфейс ARPACK в igraphпакеті R. Однак це дало помилку для однієї з моїх матриць.

Остаточна реалізація повинна бути доступною від Р.

Ймовірно, буде кілька власних значень однакової величини.

Чи є у вас якісь пропозиції?

EDIT: Точність лише повинна бути 1e-11. "Типовою" матрицею досі було . Мені вдалося зробити QR-факторизацію. Однак можливо також мати набагато більші. Наразі я починаю читати про алгоритм Арнольді. Я розумію, що це пов’язано з Ланчсосом.$386\times 386$

EDIT2: Якщо у мене є кілька матриць, які я "тестую", і я знаю, що є велика підматриця, яка не змінюється. Чи можна його ігнорувати / відкидати?

Це дуже залежить від розміру вашої матриці, в масштабному випадку також від того, чи є вона рідкою, і від точності, яку ви хочете досягти.

Якщо ваша матриця занадто велика, щоб дозволити одну факторизацію, і вам потрібна висока точність, алгоритм Ланчсоса, мабуть, найшвидший спосіб. У несиметричному випадку потрібен алгоритм Арнольді, який чисельно нестабільний, тому впровадження потребує вирішення цього питання (дещо незручно вилікувати).

Якщо це не так у вашій проблемі, дайте більш конкретну інформацію у своєму питанні. Потім додайте коментар до цієї відповіді, і я її оновлю.

Редагувати: [Це було для старої версії запитання, що стосується найбільшого власного значення.] Оскільки ваша матриця невелика і, мабуть, щільна, я б зробив ітерацію Арнольді на B = (IA) ^ {- 1}, використовуючи початкову перестановлена ​​трикутна факторизація ІА, щоб мати дешеве множення на Б. (Або обчислити явну зворотну, але це коштує в 3 рази більше, ніж факторизація.) Ви хочете перевірити, чи має В В негативне власне значення. Працюючи з B замість A, негативні власні значення значно краще відокремлюються, тому, якщо така є, ви повинні швидко сходитися.

Але мені цікаво звідки походить ваша проблема. Несиметричні матриці зазвичай мають складні власні значення, тому "найбільший" навіть не є чітко визначеним. Таким чином, ви повинні знати більше про свою проблему, що може допомогти підказати, як її вирішити ще швидше та / або надійніше.

Edit2: важко отримати з Арнольді певний підмножина інтересу. Щоб надійно отримати абсолютно найбільші власні значення, слід зробити ітерацію підпростору за допомогою оригінальної матриці з розміром підпростору, що відповідає або перевищує кількість власних значень, які, як очікується, будуть величиною близько 1 або більше. На малих матрицях це буде повільніше, ніж алгоритм QR, але на великих матрицях буде набагато швидше.

$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

$\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

Останнім часом було проведено кілька хороших досліджень з цього приводу. Нові підходи використовують "рандомізовані алгоритми", для отримання яких потрібна лише декілька прочитань вашої матриці, щоб отримати хорошу точність на найбільших власних значеннях. Це на відміну від силових ітерацій, які потребують декількох матричних векторних множень для досягнення високої точності.

Більше про нове дослідження ви можете прочитати тут:

http://math.berkeley.edu/~strain/273.F10/martinsson.tygert.rokhlin.randomized.decomposition.pdf

http://arxiv.org/abs/0909.4061

Цей код зробить це за вас:

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decomposition.html

Якщо Вашої мови вибору немає там, Ви можете легко згорнути свій власний рандомізований SVD; для цього потрібно лише множення матричного вектора з подальшим викликом SVD.

Тут ви знайдете алгоритмічне вступ до алгоритму Якобі-Девідсона, який обчислює максимальне власне значення.

У цій роботі досліджено математичні аспекти. JD допускає загальні (реальні або складні) матриці і може використовуватися для обчислення діапазонів власних значень.

Тут ви можете знайти різні реалізації бібліотеки JDQR і JDQZ (включаючи інтерфейс C, до якого ви повинні мати можливість посилання з R).

У своєму початковому дописі ви кажете:

"Я також спробував використовувати інтерфейс ARPACK в пакеті igraph R. Однак це дало помилку для однієї з моїх матриць."

Мені буде цікаво дізнатися більше про помилку. Якщо ви можете зробити цю матрицю загальнодоступною десь, мені буде цікаво спробувати ARPACK на ній.

Виходячи з того, що я читав вище, я би сподівався, що ARPACK зробить дуже гарну роботу з вилучення найбільших (або декількох найбільших) власних значень розрідженої матриці. Якщо бути більш конкретним, я б очікував, що методи Арнольді добре працюють у цій справі, і, звичайно, саме на цьому базується ARPACK.

Вище було згадано про повільну конвергенцію силового методу, коли в регіоні, що цікавить, є чітко розташовані власні значення. Арнольді покращує це шляхом ітерації з кількома векторами замість того, який використовується в силовому методі.

Це не найшвидший спосіб, але досить швидкий спосіб - просто натиснути (спочатку випадковий) вектор матрицею кілька разів, а потім нормалізувати кожні кілька кроків. Врешті-решт він перейде до найбільшого власного вектора, а коефіцієнт посилення в нормі для одного кроку - це пов'язане власне значення.

Це найкраще працює, коли найбільше власне значення значно більше, ніж будь-яке інше власне значення. Якщо інші власне близький за величиною до величини, це займе якийсь час , сходитися, і це може бути важко визначити , якщо він має сходилися.

Пакет R RARPACK працює для мене. І це здається дуже швидким, оскільки це просто інтерфейс для ARPACK, стандартного пакету для розрідженої лінійної алгебри (мається на увазі обчислення кількох власних значень та власних векторів).