Оптимальне використання стрункового розщеплення (для рівняння дифузії реакції)

Я зробив дивне спостереження, обчислюючи рішення для простого 1D рівняння дифузії реакції:

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Початкове значення - константа ( ), і мене цікавить лише інтеграл над від до ( ). Мета та рівняння - просто оцінити цей інтеграл. $b$ $b(0,x)=b_0$ $a$ $0$ $1$ $\int_0^1a(t,x)dt$ $c$ $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Я використовував схему розщеплення Странга для з'єднання між дифузією та реакцією (реакція на півкроку, потім повну ступінчату дифузію, а потім знову реакцію на півкроку), схему дифузії Кранка Ніколсона та аналітичний розчин для реакції ( включаючи рівняння ). $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Оскільки один крок аналітичного рішення був більш ніж фактор 3 повільніше, ніж один крок схеми Кренка Ніколсона, я намагався зробити більше одного кроку Кранка Ніколсона для кожного етапу реакції. Я сподівався обійтись меншим кроком схеми розщеплення Странга, щоб я в цілому був швидшим.

Однак можна спостерігати протилежний ефект, а саме, що для використання більше ніж одного кроку Кранка Ніколсона потрібно набагато більше кроків для схеми розщеплення Стренга. (Я стурбований тільки з точністю до інтеграла по , який , здається, сходяться швидше , ніж сама.) Після того, як цікаво , на яке - той час, я помітив , що той же ефект також відбувається для , і що я навіть розумію, чому саме в цьому випадку. Річ у тім, що якщо я роблю рівно один крок Нікалсона, тоді загальна схема перетворюється на правило трапеції (якщо ). $a$ $a$ $b(t,x)=b_0=0$ $b(t)=0$

Тож якби я розглядав част як частину кроку дифузії, збільшення кількості кроків Кранка Ніколсона (ймовірно) не призвело б до зниження загальної точності (як це спостерігалось). Але це, здається, перешкоджає використанню аналітичного рішення для (нелінійної та потенційно дуже жорсткої) реакційної частини системи. $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

Тож ось моє запитання: чи є кращий спосіб розглянути в контексті розщеплення Странга, ніж або трактувати його як частину етапу реакції, або лікувати це як частина етапу дифузії. Я хочу, щоб не було «змушене» використовувати саме один крок Нікалсона Кран для дифузії. (Наприклад, в 3D, я вважаю за краще вирішити дифузію аналітичним методом FFT, а не використовувати Crank Nicholson. Звичайно, я також можу комбінувати FFT з Crank Nicholson, тому це не така вже й велика справа.) $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

parabolic-pde operator-splitting

— Томас Клімпель
джерело

У People.maths.ox.ac.uk/dellar/OperatorLB.html схожий ефект, схоже, описаний. Висновок полягає в тому, що замість точного рішення вирішальним є використання Кранка Ніколсона. Тож, можливо, відповідь на моє запитання - простий ні.

— Томас Клімпель

Щось здається не так у ваших рівняннях. не з'являється в перших двох, що робить з'єднання одностороннім, і це означає, що ви можете обчислити в будь-якому як етап після обробки.

c

$c$

c

$c$

t

$t$

— Білл Барт

@BillBarth Я змінив питання, щоб уточнити роль . Отже, - це лише засіб для обчислення . Будь ласка, дайте мені знати, чи є у вас якісь пропозиції, як обчислити цей інтеграл точніше (ніж те, що я отримую з комбінації розщеплення Струнга і Кранка Ніколсона, описаного вище), потенційно використовуючи етап після обробки.

c

$c$

c

$c$

\int_{0}^{1} a (t, x) d t

$\int_0^1a(t,x)dt$

— Томас Клімпель

Зараз уже давно минуло, але чи визнали ви, що цю систему рівнянь можна записати як параболічний PDE у із терміном експоненціальної реакції? Напевно, мені цікаво, чи дійсно ви хочете вирішити цю 3-змінну систему замість спрощеної.

c

$c$

— Білл Барт

@BillBarth Мені було б цікаво дізнатись, як ця система може бути записана як параболічний PDE з експоненціальним терміном реакції. Швидкість рішення цієї моделі є обмежуючим фактором під час калібрування моделі (що може зайняти кілька годин), навіть тому використана точність відносно інтеграції часу є далеко не повною конвергенцією.

— Томас Клімпель

Я буду писати це як відповідь, хоча це прямо не відповідає на питання.

Підключивши друге рівняння і третє рівняння до першого, а третє підключивши до другого, разом даємо: Перестановка цих двох дає: Тепер ми можемо інтегрувати обидва рази в , залишаючи для перше рівняння:

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} c}{\partial т^{2}} & = \frac{\partial^{2}}{\partial х^{2}} \frac{\partial c}{\partial т} + \frac{\partial б}{\partial т} \\ \frac{\partial б}{\partial т} & = - (\frac{\partial c}{\partial т}) б \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial т} (\frac{\partial c}{\partial т} - \frac{\partial^{2} c}{\partial х^{2}} - б) & = 0 \\ \frac{1}{б} (\frac{\partial б}{\partial т}) & = - \frac{\partial c}{\partial т} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$

t

$t$

\frac{\partial c}{\partial т} - \frac{\partial^{2} c}{\partial х^{2}} = б + А (х)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$ Використовуючи третє рівняння, ми можемо виразити "константу" інтеграції як . Друге рівняння трохи складніше. Трохи переписавши, у нас є: Це призводить до рішення Або Експоненціація дає: І, нарешті, підключення цього до PDE для дає

A (x) = a_{0} - \frac{\partial^{2} c_{0}}{\partial x^{2}} - b_{0}

$A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$

\int_{0}^{т} \frac{1}{б (х, т^{'})} (\frac{\partial б (х, т^{'})}{\partial т^{'}}) г т^{'} = - \int_{0}^{т} \frac{\partial c (х, т^{'})}{\partial т^{'}} г т^{'}

$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$

\ln б (х, т) - \ln б_{0} (х) = - c (х) + c_{0} (х)

$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$

\ln \frac{б}{б_{0}} = - c + c_{0}

$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$

б = б_{0} е^{c_{0} - c}

$b = b_0 e^{c_0-c}$

c

$c$

\frac{\partial c}{\partial т} - \frac{\partial^{2} c}{\partial х^{2}} = б_{0} е^{c_{0} - c} + А (х)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$

Замінивши на , або еквівалентно використовуючи початкові умови , це рівняння спрощується до Тепер вам слід мати змогу знайти значну літературу щодо найкращого способу вирішення цього рівняння. Я не знаю, чи Кранк-Ніколсон є хорошим вибором для експонентного терміну, але це здається правдоподібним. Певно слід подбати про те, щоб гарантувати, що скрізь, або рішення може швидко підірватись. $c$ $c-c_0$ $c_0(x)=0$

\frac{\partial c}{\partial т} = \frac{\partial^{2} c}{\partial х^{2}} + а_{0} - (1 - е^{- c}) б_{0}

$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$

c > c_{0}

$c > c_0$

Я лише двічі пройшов цей вивід, тому в ньому може виникнути помилка або дві, але мені це правильно підходить. Якщо скрізь, то це, очевидно, правильне рішення, і в іншому випадку є прихильність правдоподібності. $b_0 = 0$

Вирішуючи це, поки і оцінюючи слід дати вам відповідь, яку ви шукаєте. $t=1$ $c(x,1)$

— Білл Барт
джерело

Дуже дякую за цю відповідь. Я вважаю це досить освітлюючим, принаймні це полегшує мені розуміння / прогнозування поведінки рішення. Ще одна перевага полягає в тому, що еволюція часу відбувається повільніше, ніж еволюція часу , тому я досить оптимістично налаштований на зближення, ніж раніше.

c

$c$

a

$a$

— Томас Клімпель

Нема проблем. Я насупився на мене після нашого початкового обміну коментарями. Я сподіваюся, що це корисно.

— Білл Барт