Чи існує узагальнення закону інерції Сильвестра для симетричної узагальненої задачі про власне значення?

Я знаю, що для вирішення симетричної задачі власного значення $Ax = \lambda x$, ми можемо використовувати закон інерції Сильвестра, тобто кількість власних значень $A$ менше, ніж $a$ дорівнює кількості негативних записів $D$ де діагональна матриця $D$ походить від LDL-факторизації $A-aI = LDL^{T}$. Тоді методом розбиття ми можемо знайти всі або деякі власні значення за бажанням. Я хочу знати, чи існує узагальнення закону інерції Сильвестра для симетричних узагальнених задач власного значення, тобто це рішення$Ax= \lambda Bx$, де $A$ і $B$є симетричними матрицями. Дякую.

Так, якщо олівець визначений, тобто, якщо $A$ і $B$ є ермітами та $B$є позитивним певним. Тоді підпис о$A-\sigma B$ має таку ж інтерпретацію щодо проблеми власного значення $(A-\lambda B)x=0$ як у випадку $B=I$. Більш загальний результат такого роду справедливий для будь-якої певної нелінійної проблеми власного значення$A(\lambda)x=0$. Дивіться розділ 5.3 моєї книги

Арнольд Ноймаєр, Вступ до чисельного аналізу, Кембриджський ун-т. Преса, Кембридж, 2001.

Для $(A-\lambda B)x=0$, доказ мого твердження можна вивести з аргументу, викладеного Джеком Поульсоном, зазначивши це $C-\sigma I$ і $A-\sigma B$ є конгруентними, отже, мають однакову інерційність.

Зокрема, можна безпосередньо обчислити інерційність $A-\sigma B$, і не потрібна факторизація Чолеського $B$ формувати $C$. Дійсно, якщо$B$ є умовними, то числове утворення $C$ погіршує якість тесту на інертність.

У випадку, коли $B$ є ермітською та позитивно визначеною, факторизацією Холеського $B$, сказати $B = L L^H$, дає це

і цим рівнянням можна маніпулювати, щоб показати це

де це повинно бути зрозуміло $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ зберігає симетрію $A$, а також має той же спектр, що і олівець $(A,B)$. Таким чином, після формування$C$, з факторизацією Холеського з подальшим двостороннім трикутним рішенням , ви можете безпосередньо застосувати закон інерції Сильвестра до$C$ отримати інформацію про власні значення олівця $(A,B)$.

Зауважте, оскільки закон інерції Сильвестра інваріантний щодо перетворень конгруентності , наприклад,$S \cdot S^H$, то матриця $C$ відповідає $A$ через трансформацію $L^{-1} \cdot L^{-H}$, і так $C$ має таку ж інерційність, що і $A$. Однак якщо за інерцією$C-\sigma I$ бажано, для деякого ненульового зсуву $\sigma$, то ми вже не можемо просто розглянути $A$.