Чи впливають прямі розв’язувачі на номер умови матриці?

Якщо я мав би вирішити відносно невелику задачу, тобто проблему, яку можна вирішити прямим методом, як LU, то чи впливає номер умови лінійного оператора на точність рішення?

Одна з дослідницьких проблем, над якою я працюю, зосереджується на розробці методик оптимізації для розв’язання лінійних систем рівнянь, і "питання", з якими я стикаюся, полягають у тому, що кількість умов матриць може бути дуже високим.

Це було б важливим фактором, який слід враховувати, якби я використовував ітераційний метод та попередній кондиціонер, але зараз я вирішую невеликі проблеми (менше 1М ступеня свободи), тому прямий вирішувач зараз підходить.

Так, номер умови завжди має значення в арифметиці з плаваючою комою, незалежно від того, чи вирішили ви вирішити вашу систему ітераційним чи прямим методом. Відносна точність наближеного рішення до отримана від LU-факторизації при обертанні, становить , де - найменше число плаваючої точки, таке що на вашому машина. Якщо ви використовуєте 64-бітні поплавці, , тож якщо ваша матриця має номер умови ви можете лише гарантувати, що ваше рішення має 4 цифри точності.O ( κ ( A ) ⋅ ε ) ε 1 + ε > 1 ε ≈ 10 - 16 10 $Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

Для ітеративних розв'язків число умови матриці надходить у показ навіть у арифметиці з нескінченною точністю, оскільки часто диктує теоретичну швидкість збіжності алгоритму. При прямому вирішенні це враховується лише після того, як ви врахуєте той факт, що ваш комп'ютер працює з обмеженою точністю.