Як відібрати точки в гіперболічному просторі?

Гіперболічний простір у моделі верхнього півпростору Пуанкаре виглядає як звичайний але поняття кута та відстані спотворене порівняно просто. В евклідовому просторі я можу відібрати випадкову точку рівномірно в кулі кількома способами, наприклад, генеруючи незалежних зразків Гаусса для отримання напряму, і окремо відібрати радіальну координату шляхом рівномірного відбору з , де - радіус, і встановлення $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . У гіперболічній верхній половині площини сфера все ще залишається сферою, лише її центр не буде центром в евклідовій метриці, тому ми могли б зробити те саме.

Якщо ми хочемо відібрати вибірку за нерівномірним розподілом, але все ще в ізотропному способі, наприклад, по гауссовому розподілу, це не здається таким простим. В евклідовому просторі ми могли би просто генерувати зразок Гаусса для кожної координати (це працює лише для гауссового розподілу) або рівнозначно генерувати багатовимірний гауссовий зразок. Чи існує прямий спосіб перетворення цього зразка на зразок у гіперболічному просторі?

Альтернативним підходом може бути спочатку генерування напрямку, рівномірно розподіленого напряму (наприклад, з гауссових зразків), потім зразка Гаусса для радіальної складової, і, нарешті, генерування зображення під експонентною картою у вказаному напрямку за заданою довжиною. Різновидом було б просто взяти евклідовий зразок Гаусса і відобразити його під експоненціальною картою. $n$

Мої запитання:

який би був хороший та ефективний спосіб отримати зразок Гаусса із заданим середнім та стандартним відхиленням у гіперболічному просторі?
чи описані вище способи забезпечують бажаний вибірки?
хтось вже розробив формулу?
як це узагальнює інші показники та інші розподіли ймовірностей?

Заздалегідь спасибі.

EDIT

Я щойно зрозумів, що навіть у випадку рівномірного відбору проб ці питання залишаються; незважаючи на те, що сфера - це сфера, рівномірний розподіл не описується постійною функцією на кулі.

— дует
джерело

@yes дякую за ваш коментар. На кожному топологічному просторі у вас є алгебра сигми Бореля, породжена топологією. Ріманівська метрика дає поняття обсягу. Якщо загальний об'єм є кінцевим, це можна нормалізувати, щоб дати розподіл ймовірностей, або в більш загальному вигляді він дає вам прямий рівномірний розподіл ймовірностей на вимірюваних наборах скінченного обсягу. Оскільки у вас є геометрична структура, включаючи поняття геодезики та довжини дуги, ви також можете визначити гауссові розподіли за щільністю ймовірності, яка розпадається на відстань так само, як і в евклідовому просторі

— дотое

@yes Можливо, простіше взяти пробу навколо центру кулі в моделі кулі, а потім транспортувати її через ізометрію, принаймні евклідові та гіперболічні обертання навколо центру збігаються. Якщо це справді найефективніше, питання зводиться до того, як здійснювати вибірку навколо центру в моделі диска відповідно до нормального розподілу для гіперболічної метрики.

— doetoe

Ви повинні мати змогу адаптувати римановий колектор МКМК Мармана Гіроламі для генерування тут зразків. Але це може бути зайвим. Ви робите MCMC, але ви створюєте пропозиції, знімаючи геодезику з поточної точки.

— Нік Алгер

@NickAlger, що звучить цікаво, у вас є посилання?

— doetoe

Ось його головний документ про це. Вони перетворюють проблему вибірки нерівномірного розподілу на плоский простір в проблему вибірки рівномірного розподілу на колекторі, тоді як ви починаєте з рівномірного розподілу на колекторі. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Нік

Я в середині роблю це для себе. Я думаю, що найбільш підходящим аналогом Гаусса було б теплове ядро в гіперболічному просторі. На щастя, це було з’ясовано раніше: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (також доступний у Бюлетені Лондонського математичного товариства ).

Якщо ви використовуєте стандартний розпад ( ), я очікую, що загальна маса буде більшою за 1, через експоненціальне збільшення об’єму з радіусом для гіперболічного простору. $e^{-dist^2/constant}$

Для вибіркової вибірки на заданому кулі (або іншому компактному наборі) можна було б зробити вибірку відхилення з формою гучності:

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Ось рівномірний зразок для кулі радіусом 3 з центром біля початку:

За бажанням я б радила сказати більше. Я просто думав, що я це поставлю, оскільки явно був певний інтерес до цього, принаймні в минулому.

— Едвард Чієн
джерело

Спасибі! Я ще не встиг вивчити вподобану статтю, але це виглядає цікаво та актуально

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

Константа pi - лише константа в евклідовому просторі. Значення pi різне в інших геометріях. Параметр pi змінює масу ймовірності під гауссом. Параметр pi використовується для нормалізації ймовірностей. Я тільки починаю це вивчати.

Я деякий час тому прийшов до висновку, що простір змінюється від гіперболічного до евклідового до сферичного, коли кількість сигм збільшується. Я був радий наткнутися на обговорення кіл у кожному просторі та pi як функцію пробілів Lp через параметр p.

— Девід У. Локк
джерело